Test auf Mittelwert: Unterschied zwischen den Versionen

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=={{Grundbegriffe}}==
 
=={{Grundbegriffe}}==
  
===Gauß-Test===
+
===Test auf Mittelwert===
  
Der ''Gauß-Test'' ist ein [[Test auf Mittelwert]], wobei die [[Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes|Standardabweichung <math>\sigma</math> des Stichprobenmittelwertes <math>\bar{X}</math>]] als bekannt vorrausgesetzt wird.
+
Bei diesen [[Statistischer Test|Tests]] handelt es sich um [[Parametertest]]s, d.h. [[Statistischer Test|Tests]], mit denen eine [[Hypothese]] über einen unbekannten [[Parameter der Grundgesamtheit]] geprüft wird.  
  
Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "[[Test auf Mittelwert]]" diskutiert.
+
Der unbekannte [[Parameter]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> ist hier der [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]].
  
===Teststatistik des Gauß-Tests===
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Die [[Statistischer Test|Tests]] basieren auf einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] vom vorgegebenen [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> mit den [[Stichprobenvariable]]n <math>X_{1},\ldots ,X_{n}</math> und werden auf dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> durchgeführt.
  
Bei bekanntem <math>\sigma</math> ist die [[Normalverteilung]] von <math>\bar{X}</math> vollständig spezifiziert, liegt jedoch für <math>\mu_{0}</math> und <math>\sigma(\bar{X})</math> nicht tabelliert vor.  
+
Je nach Problemstellung können die [[Statistischer Test|Tests]] als [[zweiseitiger Test|zwei-]] oder [[Einseitiger Test|einseitige Tests]] formuliert werden.
  
Es wird deshalb <math>\bar{X}</math> [[Standardisierung|standardisiert]] und
+
* [[Zweiseitiger Test]]
  
<math>V=\frac{\bar{X}-\mu _{0}}{\sigma }\;\sqrt{n}</math>
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: <math>H_{0}: \mu =\mu _{0},\quad H_{1}: \mu \neq \mu _{0}</math>
  
als [[Teststatistik]] verwendet.
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* [[Rechtsseitiger Test]]
  
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> ist <math>V\;</math> (zumindest [[Approximation|approximativ]]) [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilt]]:
+
: <math>H_{0}:\mu \leq \mu _{0},\quad H_{1}: \mu >\mu _{0}</math>
  
<math>V \mbox{ ist unter } (H_{0}) \;{\sim}\; N \left( 0, 1\right)</math>
+
* [[Linksseitiger Test]]
  
Für das vorgegebene [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> können die [[Kritischer Wert|kritischen Werte]] aus der Tabelle der [[Standardnormalverteilung]] entnommen werden.
+
: <math>H_{0}: \mu \geq \mu _{0},\quad H_{1}: \mu <\mu _{0}</math>
  
===Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests===
+
Bei der Formulierung eines [[Einseitiger Test|einseitigen Tests]] ([[Rechtsseitiger Test|rechts-]] bzw. [[linksseitiger Test]]) wird in der Regel diejenige Annahme als [[Alternativhypothese]] <math>H_{1}</math> festgelegt, die "statistisch bestätigt" werden soll.
  
Für die einzelnen [[Statistischer Test|Test]]möglichkeiten erhält man die nachstehenden [[Entscheidungsbereiche]] bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> und vorgegebenem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>.
+
Oftmals werden auch in einer Risikobetrachtung die beiden möglichen Fehlentscheidungen gegenübergestellt und dann diejenige Fehlentscheidung mit den schwerwiegenderen Konsequenzen als der mögliche [[Fehler 1. Art]] gesetzt, weil die
 +
[[Wahrscheinlichkeit]] <math>P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> für einen [[Fehler 1. Art]] durch die Vorgabe des [[Signifikanzniveau]]s <math>\alpha</math> klein gehalten werden kann.
  
====Zweiseitiger Test====
+
Daraus ergibt sich dann die Entscheidung für einen [[Rechtsseitiger Test|rechts-]] oder [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]]. Da jeder [[Statistischer Test|Test]] auf einer [[Zufallsstichprobe]] basiert, benötigt man zunächst eine Größe, die die Informationen aus der [[Stichprobe]] enthält.
  
Die [[Wahrscheinlichkeit]], eine [[Realisation]] der [[Teststatistik]] <math>V\;</math> aus dem [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>:
+
Dazu wird bei einem [[Parametertest]] eine [[Schätzfunktion]] verwendet. Es wurde bereits gezeigt, dass der [[Stichprobenmittelwert]]
  
<math>P\left(V<c_{u}|\mu _{0}\right) +P\left( V>c_{o}|\mu _{0}\right) =\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}=\alpha</math>.
+
<math>\bar{X}=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}\,X_{i}</math>
  
Für <math>P( V\leq c_{u})= 1 - \frac{\alpha}{2}</math> findet man den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0; 1): c_{o} = z_{1 - \frac{\alpha}{2}}</math>.  
+
ein geeigneter Punkt[[schätzer]] für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> der Grundgesamtheit]] ist, da der [[Schätzer]] [[Erwartungstreue|erwartungstreu]] und [[Konsistenz|konsistent]] ist.  
  
Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] gilt <math>c_{u} = -z_{1 - \frac{\alpha}{2}}</math>.
+
Die [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] und die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\bar{X}</math> sind im Falle einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] (siehe Abschnitt [[Stichprobenverteilung]]en) gegeben mit
  
Der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist gegeben durch
+
<math>Var\left( \bar{X}\right) =\sigma ^{2}\left( \bar{X}\right)=\frac{\sigma _{X}^{2}}{n}</math>
  
<math>\left\{v|v<-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\mbox{ oder }\;v>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}</math>.
+
<math>\sigma \left( \bar{X}\right) =\frac{\sigma }{\sqrt{n}}</math>
  
Für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man:
+
Der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> bildet den Ausgangspunkt für die Bestimmung der [[Teststatistik]].
  
<math>\left\{v|-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq v\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}</math>.
+
Annahme:
  
Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> eine [[Realisation]] aus dem [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, ist
+
Für die weiteren Betrachtungen wird von der Annahme ausgegangen, dass
  
<math>P\left(c_{u}\leq V\leq c_{o}|\mu _{0}\right) =P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq V\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}|\mu _{0}\right)=1-\alpha</math>
+
* die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] und somit auch <math>\bar{X}</math> [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist bzw.
  
====Rechtsseitiger Test====
+
* der [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> genügend groß ist, dass nach dem [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentralen Grenzwertsatz]] <math>\bar{X}</math> [[Approximation|approximativ]] [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist, auch wenn die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] nicht einer [[Normalverteilung]] folgt (in diesem Fall handelt es sich um einen [[Approximation|approximativen]] [[Statistischer Test|Test]] auf <math>\mu</math>).
  
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] ist <math>E\left[\bar{X}\right] = \mu_{0}</math> und damit <math>E\left[V\right] = 0</math>.
+
Es gelte somit:
  
Zu große Abweichungen nach rechts von <math>E\left[V\right] = 0</math> sprechen gegen <math>H_{0}</math>, so dass der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] im positiven Bereich von <math>V\;</math> liegt.
+
<math>\bar{X}</math> ist (zumindest [[Approximation|approximativ]]) [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit dem [[Erwartungswert]] <math>E\left[\bar{X}\right] = \mu_{0}</math> und der [[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}(\bar{x}) = \frac{\sigma^{2}}{n}</math>.
  
Die [[Wahrscheinlichkeit]], eine [[Realisation]] der [[Teststatistik]] <math>V\;</math> aus dem [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>:
+
Um die [[Verteilung (stochastisch)|Verteilung]] von <math>\bar{X}</math> konkret angeben zu können, muss der [[Parameter]] <math>\mu</math> numerisch spezifiziert werden. Die einzige verfügbare Information über <math>\mu</math> ist jedoch der hypothetische Wert <math>\mu_{0}</math>.
  
<math>P\left(V>c|\mu _{0}\right) =\alpha</math>.
+
Es wird nun unterstellt, dass <math>\mu_{0}</math> der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] ist, d.h. <math>\mu=\mu_{0}</math> gilt. Dies entspricht bei einem [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] exakt der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math>.  
  
Für <math>P\left(V\leq c\right)=1-\alpha</math> findet man den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0; 1): c=z_{1-\alpha }</math>.
+
Bei einem [[Einseitiger Test|einseitigen Test]] ist <math>\mu_{0}</math> stets als Grenzwert der Bereichs[[hypothese]] unter <math>H_{0}</math> enthalten.  
  
Der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist gegeben durch
+
Damit folgt:
  
<math>\left\{v|v>z_{1-\alpha}\right\}</math>.
+
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] <math>H_{0}</math> ist <math>\bar{X}</math> (zumindest [[Approximation|approximativ]]) [[Normalverteilung|normalverteilt]] mit dem [[Erwartungswert]] <math>E\left[\bar{X}\right]=\mu</math> und der
 +
[[Varianz (stochastisch)|Varianz]] <math>\sigma^{2}\left(\bar{X}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}</math>:
  
Für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man:
+
<math>\bar{X}\mbox{ ist unter }H_{0} \;\sim\; N \left( \mu_{0};\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\mbox{-verteilt}</math>.
  
<math>\left\{v|v\leq z_{1-\alpha }\right\}</math>.
 
  
Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> eine [[Realisation]] aus dem [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, ist
+
Die Konstruktion der [[Teststatistik]] hängt nunmehr entscheidend davon ab, ob die [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] und damit die [[Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes]] <math>\sigma(\bar{x})</math> bekannt ist oder nicht.
  
<math>P\left( V\leq c|\mu _{0}\right)=P\left(V\leq z_{1-\alpha}|\mu _{0}\right)=1-\alpha</math>
+
Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt:
  
====Linksseitiger Test====
+
* [[Gauß-Test]] ([[Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes]] bekannt)
 
+
* [[Einstichproben-t-Test]] ([[Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes]] unbekannt)
Zu große Abweichungen nach links von <math>E\left[V\right] = 0</math> sprechen gegen <math>H_{0}</math>, so dass der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] im negativen Bereich von <math>V\;</math> liegt und der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>c</math> negativ ist <math>(- c)</math>.
 
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]], eine [[Realisation]] der [[Teststatistik]] <math>V\;</math> aus dem [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>:
 
 
 
Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] findet man für <math>P(V \leq c) = 1 - \alpha</math> den Wert <math>c</math> aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der <math>N(0; 1):c = z_{1-\alpha}</math>, so dass der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] <math>-c=-z_{1 - \alpha/2}</math> ist.
 
 
 
Der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] ist gegeben durch
 
 
 
<math>\left\{v|v<-z_{1-\alpha }\right\}</math> ,
 
 
 
Für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] erhält man:
 
 
 
<math>\left\{ v|v\geq -z_{1-\alpha }\right\}</math>.
 
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> eine [[Realisation]] aus dem [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] annimmt, ist
 
 
 
<math>P\left(V\geq -c|\mu _{0}\right) =P\left(V\geq-z_{1-\alpha}|\mu _{0}\right)=1-\alpha</math>.
 
 
 
===Prüfwert des Gauß-Tests===
 
 
 
Wenn die [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> gezogen wurde, liegen die konkreten [[Stichprobenwerte]] <math>x_{1},\ldots ,x_{n}</math> vor und der [[Schätzwert]] <math>\bar{X}</math> für den [[Stichprobenmittelwert]] kann berechnet werden:
 
 
 
<math>\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\; x_{i}</math>
 
 
 
Einsetzen in die [[Teststatistik]] führt zu einem [[Prüfwert]]:
 
 
 
<math>v=\frac{\bar{x}-\mu _{0}}{\sigma }\cdot\sqrt{n}</math>
 
 
 
===Entscheidungssituationen des Gauß-Tests===
 
 
 
* Wenn <math>v</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] auf dem [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math> und basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''})</math>:
 
 
 
: Es konnte [[Statistik|statistisch]] gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] nicht gleich dem hypothetischen Wert <math>\mu _{0}</math> ist.
 
 
 
: Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]] richtig ist.
 
 
 
: Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 1. Art]] entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>.
 
 
 
* Wenn <math>v</math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> nicht abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''})</math>.
 
 
 
: Das [[Stichprobe]]nergebnis gibt keine Veranlassung, <math>H_{0}</math> zu verwerfen:
 
 
 
: Es konnte [[Statistik|statistisch]] nicht gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] vom hypothetischen Wert <math>\mu_{0}</math> abweicht.
 
 
 
: Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.
 
 
 
: Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 2. Art]] ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte <math>\mu_{1}</math> berechnet werden.
 
 
 
=={{Vorlage:Überschrift_2}}==
 
 
 
===Länge der Entscheidungsbereiche===
 
 
 
Sowohl für den [[zweiseitiger Test|zweiseitigen]] als auch für die [[Einseitiger Test|einseitigen Tests]] auf <math>\mu</math> hängt die Länge der [[Entscheidungsbereiche]] ab:
 
 
 
* vom vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha</math>
 
 
 
: Je größer <math>\alpha</math>, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] und um so kleiner ist der [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]], und umgekehrt.
 
 
 
* vom [[Stichprobenumfang]] <math>n</math>
 
 
 
: Je größer <math>n</math>, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] und um so kleiner ist der [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]], und umgekehrt.
 
 
 
* von der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> der [[Grundgesamtheit]] bzw. der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>s</math> in der [[Stichprobe]]
 
 
 
: Je größer <math>\sigma</math> bzw. <math>s</math>, desto größer ist unter sonst gleichen Bedingungen der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] und um so kleiner ist der [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]], und umgekehrt.
 
 
 
===Entscheidungsbereiche für die Schätzfunktion===
 
 
 
Die [[Kritischer Wert|kritischen Werte]] und damit der [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungs-]] und [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese]] können bei bekanntem <math>\sigma</math> auch für die [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math> angegeben werden, was durch
 
einfache Umformungen erreicht wird. Dies wird für den [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] gezeigt.
 
 
 
Die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> ergab sich als [[Standardisierung|standardisierte]] Version der [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math>:
 
 
 
<math>V=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>
 
 
 
und damit jede mögliche [[Realisation]] von <math>V\;</math> gemäß
 
 
 
<math>v=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>
 
 
 
Beim [[zweiseitiger Test|zweiseitigen Test]] besteht der [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] aus allen [[Realisation]]en <math>v</math> der [[Teststatistik]] <math>V\;</math>, die größer oder gleich <math>-z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> jedoch kleiner oder gleich <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> sind:
 
 
 
<math>\left\{v|-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\leq v\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right\}</math>
 
 
 
Aus dieser Formulierung ist ersichtlich, dass die beiden [[Kritischer Wert|kritischen Werte]] <math>-z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> und <math>z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> mögliche [[Realisation]]en der [[Teststatistik]] <math>V\;</math> sind.
 
 
 
Für sie gilt ebenfalls die für die [[Teststatistik]] vorgenommene [[Standardisierung]]:
 
 
 
<math>-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{X}_{u}-\mu_{0}}{\sigma }\cdot\sqrt{n},\quad z_{1-\frac{\alpha}{2}}=\frac{\overline{X}_{o}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>
 
 
 
Da <math>-z_{1-\frac{\alpha}{2}}</math> der untere [[Kritischer Wert|kritische Wert]] bezüglich <math>V\;</math> ist, wurde mit <math>\bar{X} =\bar{X_{u}}</math> der untere [[Kritischer Wert|kritische Wert]] bezüglich <math>\bar{X}</math> gekennzeichnet. Entsprechendes gilt für den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]].
 
 
 
Durch Umformung erhält man:
 
 
 
<math>\bar{X}_{u}=\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}</math>
 
 
 
<math>\overline{X}_{o}=\mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}</math>
 
 
 
Damit ergibt sich für den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
 
 
 
<math>\left\{\overline{X}|\overline{X}_{u}\leq \overline{X}\leq \overline{X}_{o}\right\} =\left\{ \overline{X}|\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leq \overline{X}\leq \mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}</math>
 
 
 
und für den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
 
 
 
<math>\left\{\overline{X}|\overline{X}<\overline{X}_{u}\mbox{ oder }\overline{X}>\overline{X}_{o}\right\}=\left\{\overline{X}|\overline{X}>\mu_{0}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\mbox{ oder }\overline{X}>\mu_{0}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right\}</math>
 
 
 
Analoge Umrechnungen lassen sich für die [[Einseitiger Test|einseitigen Tests]] vornehmen.
 
 
 
=={{Vorlage:Beispiele}}==
 
 
 
===Problematik der Hypothesenformulierung===
 
 
 
Ein Beispiel soll die Problematik der Wahl von [[Nullhypothese|Null-]] und [[Alternativhypothese]] verdeutlichen.
 
 
 
Ein Unternehmen stellt Autoreifen her. Zur Erhöhung der Lebensdauer eines bestimmten Typs von Autoreifen wurden Materialänderungen vorgenommen.
 
 
 
Die Konkurrenz behauptet nun, dass durch die Materialänderung keine Erhöhung gegenüber der ursprünglichen mittleren Lebensdauer dieses
 
Reifentyps von 38000 km erreicht wurde.
 
 
 
Der Reifenhersteller lässt deshalb eine Prüfung vornehmen, womit ein [[statistischer Test]] verbunden ist.
 
 
 
Die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> ist die Lebensdauer des betrachteten Reifentyps.
 
 
 
Vor der Materialänderung betrug die mittlere Lebensdauer des Reifentyps <math>E[X] = \mu_{0} = 38000</math> km. Nach der Materialänderung ist <math>\mu</math> unbekannt, soll jedoch gemäß der Behauptung des Reifenherstellers größer als <math>\mu_{0}</math> sein, d.h. <math>\mu > \mu_{0} = 38000 </math> km.
 
 
 
Wie soll der [[Statistischer Test|statistische Test]] formuliert werden?
 
 
 
* Zunächst ist eindeutig, dass ein [[zweiseitiger Test]] nicht in Frage kommt, da aufgrund der Behauptung des Reifenherstellers nur die Abweichungen in eine Richtung relevant sind. Es ist noch zwischen [[Rechtsseitiger Test|rechts-]] und [[Linksseitiger Test|linksseitigem Test]] zu wählen.
 
 
 
: Die Intention des Reifenherstellers ist, seine Behauptung "statistisch möglichst gesichert zu beweisen". Dabei will er das Risiko einer Fehlentscheidung möglichst klein halten.
 
 
 
: Daraus folgt, dass die Behauptung des Reifenherstellers als [[Alternativhypothese]] zu formulieren ist, woraus sich ein [[rechtsseitiger Test]] ergibt:
 
 
 
: <math>H_{0}:\mu \leq \mu_{0}\quad (= 38000 \mbox{ km})</math>
 
 
 
: <math>H_{1}:\mu > \mu_{0}\quad (= 38000 \mbox{ km})</math>
 
 
 
* Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] auf der Basis einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> die [[Nullhypothese]] abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''})</math>, so besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] zu begehen, d.h. die <math>H_{0}</math> abzulehnen, obwohl sie wahr ist.
 
 
 
: Der sich aus der Problemstellung ergebende Inhalt des [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] ist:
 
 
 
: <math>\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}=</math> "Die Lebensdauer hat sich durch die Materialänderung erhöht" | In Wirklichkeit hat sich die Lebensdauer nicht erhöht.
 
 
 
* Wird im Ergebnis des [[Statistischer Test|Tests]] die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''})</math>, so bedeutet das nicht, dass sie richtig ist, sondern lediglich, dass das [[Stichprobe]]nergebnis ihr nicht widerspricht.
 
 
 
: Man kann einen [[Fehler 2. Art]] begehen, d.h. die <math>H_{0}</math> beizubehalten, obwohl sie falsch ist. Der Inhalt des [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] ist:
 
 
 
: <math>\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1} =</math> "Die Lebensdauer hat sich nicht erhöht" | In Wirklichkeit hat sich die Lebensdauer durch die Materialänderung erhöht.
 
 
 
Ein Vergleich der beiden Fehler zeigt, dass der [[Fehler 1. Art]] für den Reifenhersteller der schwerwiegendere Fehler ist, denn
 
 
 
* die Konkurrenz schläft nicht und würde für diesen Reifentyp ebenfalls Prüfungen vornehmen (die Konkurrenz würde jedoch einen [[Linksseitiger Test|linksseitigen Test]] verwenden).
 
 
 
* die dauerhafte Verwendung des veränderten Reifens würde bald zeigen, dass die Lebensdauer durch die Materialänderung tatsächlich nicht größer wurde, was dem Ansehen des Reifenherstellers bei seinen Kunden erheblichen Schaden zufügen würde.
 
 
 
Das Risiko, d.h. die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)</math> für diesen [[Fehler 1. Art]], muss der Reifenhersteller deshalb klein halten, was durch die Vorgabe des [[Signifikanzniveau]]s <math>\alpha</math> (z.B. <math>\alpha = 0,05</math>) erreicht werden kann.
 
 
 
===Mehl===
 
 
 
In einem Unternehmen wird Mehl maschinell in Tüten abgefüllt. Das Sollgewicht beträgt 1000 g, auf das die Maschine justiert wurde.
 
 
 
Das Ist-Gewicht der Mehltüten weist gewisse Schwankungen auf, die im Produktionsprozess nicht vermieden werden können.
 
 
 
Damit ist das Ist-Gewicht eine [[Zufallsvariable]]: <math>X =\;</math>"Ist-Gewicht der Mehltüten".
 
 
 
Der [[Erwartungswert]] des Ist-Gewichts <math>E[X] = \mu</math>, mit dem die Maschine derzeit arbeitet, ist unbekannt. Er soll jedoch dem Sollgewicht entsprechen, d.h. <math>E[X] = \mu_{0} = 1000 \mbox{g}</math>.
 
 
 
Die Konsequenz ist, dass nach einer gewissen Laufzeit der Maschine überprüft werden muss, ob die ursprüngliche Justierung der Maschine noch eingehalten wird oder ob schon erhebliche Abweichungen auftreten.
 
 
 
Dazu wird in gewissen Abständen eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n</math> aus der Produktion entnommen, für die [[Stichprobe]] das durchschnittliche Ist-Gewicht ermittelt und das Ergebnis mit dem Sollwert verglichen.
 
 
 
Bei
 
erheblichen (signifikanten) Abweichungen muss eine neue Justierung der Maschine vorgenommen
 
werden.
 
 
 
Aus der Sicht des Unternehmers sind Abweichungen nach beiden Seiten vom Sollwert <math>\mu_{0}= 1000\mbox{g}</math> relevant.
 
 
 
Wird im Mittel zu wenig abgefüllt, würde dieser Umstand über kurz oder lang bei Überprüfungen (z.B. durch Verbraucherorganisationen) bekannt und der Reputation des Unternehmens erheblichen Schaden zufügen.
 
 
 
Wird im Mittel zu viel abgefüllt, schmälert dies den Gewinn des Unternehmers. Es ist somit ein [[zweiseitiger Test]] durchzuführen:
 
 
 
<math>H_{0}:\mu =1000\quad H_{1}:\mu \neq 1000</math>
 
 
 
Der [[Statistischer Test|Test]] soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> durchgeführt werden.
 
 
 
Es wird eine [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> gezogen. Aufgrund des großen [[Umfang der Grundgesamtheit|Umfangs der Grundgesamtheit]] (Gesamtproduktion) kann dabei von einer [[Einfache Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] ausgegangen werden.
 
 
 
====Teststatistik und Entscheidungsbereiche====
 
 
 
Als [[Schätzfunktion]] für den unbekannten [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> der Grundgesamtheit]] wird der [[Stichprobenmittelwert]] <math>\bar{X}</math> verwendet.
 
 
 
Es sei aufgrund der langjährigen Nutzung der Maschine bekannt, dass das Ist-Gewicht eine [[Normalverteilung|normalverteilte]] [[Zufallsvariable]] mit der [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] <math>\sigma = 10\mbox{g}</math> ist.
 
 
 
Dann folgt für die [[Schätzfunktion]] <math>\bar{X}</math>, dass sie ebenfalls [[Normalverteilung|normalverteilt]] ist und eine [[Standardabweichung (stochastisch)|Standardabweichung]] von <math>\sigma\left(\bar{X}\right) = 2\mbox{g}</math> aufweist.
 
 
 
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], d.h. wenn die Maschine im Mittel tatsächlich das Sollgewicht von 1000 g einhält, gilt:
 
 
 
<math>\bar{X}\mbox{ ist unter } H_{0}\sim N(1000;\;2)</math>.
 
 
 
Für die [[Teststatistik]]
 
 
 
<math>V=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma}\cdot\sqrt{n}</math>
 
 
 
folgt:
 
 
 
<math>V \mbox{ ist unter }H_{0}\sim N(0;\;1)</math>.
 
 
 
Aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] findet man für <math>P(V \leq c_{o})=1-\frac{\alpha}{2} = 0,975</math> den oberen [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c_{o} = z_{0,975}= 1,96</math>.
 
 
 
Wegen der Symmetrie der [[Normalverteilung]] gilt <math>c_{u}=-z_{1-\frac{\alpha}{2}}=-1,96</math>.
 
 
 
Damit ergeben sich die [[Entscheidungsbereiche]] des [[Statistischer Test|Tests]] zu:
 
 
 
[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|-1,96\leq v\leq 1,96\right\}</math>
 
 
 
[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]<math>:\;\left\{v|v<-1,96 \mbox{ oder }v>1,96\right\}</math>
 
 
 
{|
 
|<R output="display">
 
pdf(rpdf,width=7,height=7)
 
 
 
curve(from=-4, to=4, dnorm(x, mean=0, sd=1), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 1: Verteilung der Teststatistik V unter H_0 und Entscheidungsbereiche")
 
abline(v=-2, col="black", lwd=2)
 
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</R>
 
|}
 
[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]|[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]|[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]]
 
 
 
====Prüfwert====
 
 
 
Es werden nunmehr die 25 Mehltüten zufällig ausgewählt, ihr Ist-Gewicht festgestellt und das [[Arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] dieser Gewichte berechnet, für das sich <math>\bar{x} = 996,4 \mbox{ g}</math>  ergeben habe.
 
 
 
Als [[Prüfwert]] erhält man
 
 
 
<math>v=\frac{996,4-1000}{2}=-1,8</math>
 
 
 
====Entscheidungssituationen====
 
 
 
Da <math>v = - 1,8 </math> in den [[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der <math>H_{0}</math>]] fällt, wird die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt.
 
 
 
Basierend auf der [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 25</math> konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre [[Erwartungswert der Grundgesamtheit|Erwartungswert <math>E[X] = \mu</math> in der Grundgesamtheit]] verschieden vom hypothetischen Wert <math>\mu_{0} = 1000\mbox{g}</math> ist, d.h. dass die Maschine den Sollwert von 1000 g nicht einhält.
 

Version vom 12. Februar 2018, 10:57 Uhr

Testtheorie

Grundbegriffe der Testtheorie • Entscheidungsbereiche • Entscheidungssituationen • Zweiseitiger Test • Einseitiger Test • Gütefunktion • Test auf Mittelwert • Gauß-Test • Gütefunktion des Gauß-Tests • Einstichproben-t-Test • Test auf Anteilswert • Test auf Differenz zweier Mittelwerte • Zweistichproben-Gauß-Test • Zweistichproben-t-Test • Chi-Quadrat-Anpassungstest • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Ablehnungsbereich der Nullhypothese • alpha-Fehler • Alternativhypothese • Anpassungstest • beta-Fehler • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungsbereiche (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungsbereiche (Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Test auf Anteilswert) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungssituationen (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Test auf Anteilswert) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-t-Test) • Fehler 1. Art • Fehler 2. Art • Goodness-of-fit-Test • Gütefunktion des Tests auf Anteilswert • Hypothese • Kritischer Wert • Linksseitiger Test • Macht eines Tests • Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese • Nullhypothese • OC-Kurve • Operationscharakteristik • Parametertest • Prüfgröße • Prüfwert • Prüfwert (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Prüfwert (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Prüfwert (Einstichproben-t-Test) • Prüfwert (Gauß-Test) • Prüfwert (Test auf Anteilswert) • Prüfwert (Zweistichproben-Gauß-Test) • Prüfwert (Zweistichproben-t-Test) • Rechtsseitiger Test • Signifikanzniveau • Statistischer Test • Testgröße • Teststatistik • Teststatistik (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Teststatistik (Einstichproben-t-Test) • Teststatistik (Gauß-Test) • Teststatistik (Test auf Anteilswert) • Teststatistik (Zweistichproben-Gauß-Test) • Teststatistik (Zweistichproben-t-Test) • Verteilungstest • Zweistichprobentest

Vorlage:Grundbegriffe

Test auf Mittelwert

Bei diesen Tests handelt es sich um Parametertests, d.h. Tests, mit denen eine Hypothese über einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit geprüft wird.

Der unbekannte Parameter der Zufallsvariablen X\; ist hier der Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit.

Die Tests basieren auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang n mit den Stichprobenvariablen X_{1},\ldots ,X_{n} und werden auf dem Signifikanzniveau \alpha durchgeführt.

Je nach Problemstellung können die Tests als zwei- oder einseitige Tests formuliert werden.

H_{0}: \mu =\mu _{0},\quad H_{1}: \mu \neq \mu _{0}
H_{0}:\mu \leq \mu _{0},\quad H_{1}: \mu >\mu _{0}
H_{0}: \mu \geq \mu _{0},\quad H_{1}: \mu <\mu _{0}

Bei der Formulierung eines einseitigen Tests (rechts- bzw. linksseitiger Test) wird in der Regel diejenige Annahme als Alternativhypothese H_{1} festgelegt, die "statistisch bestätigt" werden soll.

Oftmals werden auch in einer Risikobetrachtung die beiden möglichen Fehlentscheidungen gegenübergestellt und dann diejenige Fehlentscheidung mit den schwerwiegenderen Konsequenzen als der mögliche Fehler 1. Art gesetzt, weil die Wahrscheinlichkeit P(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}) für einen Fehler 1. Art durch die Vorgabe des Signifikanzniveaus \alpha klein gehalten werden kann.

Daraus ergibt sich dann die Entscheidung für einen rechts- oder linksseitigen Test. Da jeder Test auf einer Zufallsstichprobe basiert, benötigt man zunächst eine Größe, die die Informationen aus der Stichprobe enthält.

Dazu wird bei einem Parametertest eine Schätzfunktion verwendet. Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

\bar{X}=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^{n}\,X_{i}

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert E[X] = \mu der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von \bar{X} sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

Var\left( \bar{X}\right) =\sigma ^{2}\left( \bar{X}\right)=\frac{\sigma _{X}^{2}}{n}

\sigma \left( \bar{X}\right) =\frac{\sigma }{\sqrt{n}}

Der Stichprobenmittelwert \bar{X} bildet den Ausgangspunkt für die Bestimmung der Teststatistik.

Annahme:

Für die weiteren Betrachtungen wird von der Annahme ausgegangen, dass

Es gelte somit:

\bar{X} ist (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert E\left[\bar{X}\right] = \mu_{0} und der Varianz \sigma^{2}(\bar{x}) = \frac{\sigma^{2}}{n}.

Um die Verteilung von \bar{X} konkret angeben zu können, muss der Parameter \mu numerisch spezifiziert werden. Die einzige verfügbare Information über \mu ist jedoch der hypothetische Wert \mu_{0}.

Es wird nun unterstellt, dass \mu_{0} der wahre Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit ist, d.h. \mu=\mu_{0} gilt. Dies entspricht bei einem zweiseitigen Test exakt der Nullhypothese H_{0}.

Bei einem einseitigen Test ist \mu_{0} stets als Grenzwert der Bereichshypothese unter H_{0} enthalten.

Damit folgt:

Bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} ist \bar{X} (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert E\left[\bar{X}\right]=\mu und der Varianz \sigma^{2}\left(\bar{X}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}:

\bar{X}\mbox{ ist unter }H_{0} \;\sim\; N \left( \mu_{0};\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\mbox{-verteilt}.


Die Konstruktion der Teststatistik hängt nunmehr entscheidend davon ab, ob die Standardabweichung der Zufallsvariablen X\; in der Grundgesamtheit und damit die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes \sigma(\bar{x}) bekannt ist oder nicht.

Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt: