Test auf Differenz zweier Mittelwerte

Grundbegriffe

Test auf Differenz zweier Mittelwerte oder Zweistichprobentest

Bei diesem Test handelt es sich ebenfalls um einen Parametertest, da eine Hypothese über einen unbekannten Parameter, die Differenz zweier Erwartungswerte $\mu _{1}-\mu _{2}$, geprüft wird. Er beruht auf den Ergebnissen zweier Zufallsstichproben und wird deshalb als Zweistichprobentest bezeichnet.

Von den vielen Möglichkeiten, Tests für die Differenz $\mu _{1}-\mu _{2}$ zweier Mittelwerte zu konstruieren, wird nur diejenige behandelt, für die nachstehende Voraussetzungen gelten:

• Gegeben sind zwei Grundgesamtheiten. In der ersten Grundgesamtheit weist die Zufallsvariable $X_{1}\;$ den Erwartungswert $E\left[X_{1}\right]=\mu _{1}$ und die Varianz $Var\left(X_{1}\right)=\sigma _{1}^{2}$ und in der zweiten Grundgesamtheit die Zufallsvariable $X_{2}\;$ den Erwartungswert $E\left[X_{2}\right]=\mu _{2}$ und die Varianz $Var\left(X_{2}\right)=\sigma _{2}^{2}$ auf. $\mu _{1}$ und $\mu _{2}$ sind unbekannt.

• Aus jeder Grundgesamtheit wird eine einfache Zufallsstichprobe gezogen bzw. es wird unterstellt, dass die Umfänge der beiden Grundgesamtheiten $N_{1}$ und $N_{2}$ genügend groß sind, dass von der Realisierung einfacher Zufallsstichproben ausgegangen werden kann. Die Stichprobenumfänge sind $n_{1}$ und $n_{2}$.

• Die beiden Zufallsstichproben sind unabhängig voneinander.

• Entweder sind die Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ in den Grundgesamtheiten normalverteilt, d.h. $X_{1}\sim N\left(\mu _{1};\;\sigma _{1}\right)$ und $X_{2}\sim N\left(\mu _{2};\;\sigma _{2}\right)$ oder die Stichprobenumfänge $n_{1}$ und $n_{2}$ sind genügend groß, dass der Zentrale Grenzwertsatz wirksam wird (approximativer Test auf $\mu _{1}-\mu _{2}$)

Über die Differenz der beiden Erwartungswerte existiert eine Annahme mit dem hypothetischen Wert $\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}$. Von besonderem Interesse bei der praktischen Anwendung dieses Tests ist oftmals die Gleichheit der beiden Erwartungswerte $\mu _{1}=\mu _{2}$, womit $\omega _{0}=0$ ist.

Der Test wird auf dem Signifikanzniveau $\alpha$ durchgeführt.

Je nach Problemstellung kann der Test als zwei- oder einseitiger Test formuliert werden.

• Zweiseitiger Test

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}=\omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}\neq \omega _{0}$

• Rechtsseitiger Test

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}\leq \omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}>\omega _{0}$

• Linksseitiger Test

$H_{0}:\;\mu _{1}-\mu _{2}\geq \omega _{0}\quad H_{1}:\mu _{1}-\mu _{2}<\omega _{0}$

Für die Wahl der Hypothesen gelten die Ausführungen zum "Test auf Mittelwert" in analoger Weise.

Es wurde bereits gezeigt (siehe Abschnitt "Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte"), dass aufgrund der 4. Voraussetzung die Schätzfunktion

$D={\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}$

als Differenz der beiden Stichprobenmittelwerte

${\overline {X}}_{1}={\frac {1}{n_{1}}}\cdot \sum _{i=1}^{n_{1}}\;X_{1i}\quad {\overline {X}}_{2}={\frac {1}{n_{2}}}\cdot \sum _{i=1}^{n_{2}}\;X_{2i}$

(zumindest approximativ) normalverteilt ist mit dem Erwartungswert $E\left[D\right]=\omega =\mu _{1}-\mu _{2}$. Wegen der Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen (2. und 3. Voraussetzung) ist die Varianz von $D$ gegeben mit:

$Var\left(D\right)=\sigma _{D}^{2}={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}$

Es wird nun unterstellt, dass $\omega _{0}$ der wahre Erwartungswert ist, d.h. $\omega =\omega _{0}$ gilt.

Damit folgt:

Bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ ist $D$ (zumindest approximativ) normalverteilt mit dem Erwartungswert $E[D]=\omega _{0}$ und der Varianz $\sigma _{D}^{2}$.

Wie beim Test auf Mittelwert muss für die Konstruktion der Teststatistik unterschieden werden, ob die Standardabweichung $\sigma _{1}$ und $\sigma _{2}$ der Zufallsvariablen $X_{1}\;$ und $X_{2}\;$ in den beiden Grundgesamtheiten und damit die Standardabweichung von $D$ bekannt sind oder nicht.

Hierzu werden zwei Testverfahren vorgestellt:

• Zweistichproben-Gauß-Test (Standardabweichung bekannt)
• Zweistichproben-t-Test (Standardabweichung unbekannt)