T-Verteilung

Aus MM*Stat

Version vom 18. Mai 2018, 13:24 Uhr von Jacobdan (Diskussion | Beiträge) (Die Seite wurde neu angelegt: „{{Verteilungsmodelle}} =={{Vorlage:Überschrift}}== ===Student'sche t-Verteilung=== Ist <math>Z\,</math> eine Standardnormalverteilung|standardnormalverte…“)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Verteilungsmodelle

Diskrete Gleichverteilung • Binomialverteilung • Hypergeometrische Verteilung • Poisson-Verteilung • Stetige Gleichverteilung • Exponentialverteilung • Normalverteilung • Standardnormalverteilung • Schwankungsintervall • Zentraler Grenzwertsatz • Chi-Quadrat-Verteilung • t-Verteilung • F-Verteilung • Approximation von Verteilungen • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Approximation • Approximation der Binomialverteilung • Approximation der hypergeometrischen Verteilung • Approximation der Poisson-Verteilung • Bernoulli-Experiment • Endlichkeitskorrektur • Freiheitsgrad • Gauß-Verteilung • Gauß'sche Glockenkurve • Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung • Gleichverteilung (diskret) • Gleichverteilung (stetig) • Poisson-Prozess • Sicherheitswahrscheinlichkeit • Standardnormalverteilung • Stetigkeitskorrektur • Student'sche t-Verteilung • Überschreitungswahrscheinlichkeit • Zentrales Schwankungsintervall

Grundbegriffe

Student'sche t-Verteilung

Ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, und eine von unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit dem Parameter , dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

Student'sche t-Verteilung oder t-Verteilung mit dem Parameter , oder kurz .

Der Parameter ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable .

Die Zufallsvariable hat den Wertebereich: .

Für Erwartungswert und Varianz gilt:

Die Verteilungsfunktion der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der t-Verteilung

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der t-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade .

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=-3, to=3, dt(x, df=1), ylab="f(x)", col="red", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=5), ylab="f(x)", col="blue", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=99999999), ylab="f(x)", col="green", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i")

text(0, 0.29, "t=1", col="red", cex=1.5) text(0, 0.34, "t=5", col="blue", cex=1.5) text(0.12, 0.42, labels=expression(infinity), col="green", cex=1.5) text(-0.12, 0.42, labels="t=", col="green", cex=1.5)

title(main="Dichtefunktion (t-Verteilung)") box(which="outer") </R>

Beziehung zur Standardnormalverteilung

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum Erwartungswert (wie die Standardnormalverteilung).

Jedoch ist die Dichtefunktion der t-Verteilung flacher als die der Standardnormalverteilung.

Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere Streuung auf.

Die Varianz der Standardnormalverteilung ist 1, während die Varianz der t-Verteilung größer als Eins ist (für ).

Für konvergiert die Dichtefunktion der t-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Ab kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.