T-Verteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

Student'sche t-Verteilung

Ist Z\, eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, Z\sim N(0,1)\, und Y\, eine von Z\, unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable Y\sim\chi^{2}(f)\, mit dem Parameter f, dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

T=\cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{Y}{f}}}

Student'sche t-Verteilung oder t-Verteilung mit dem Parameter f, oder kurz t(f)\,.

Der Parameter f ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable Y\,.

Die Zufallsvariable T hat den Wertebereich: -\infty \leq T\leq +\infty.

Für Erwartungswert und Varianz gilt:

E[T]=0\; \mbox{, wenn } f>1

Var(T)=f/(f-2)\; \mbox{, wenn }f>2

Die Verteilungsfunktion der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters f und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der t-Verteilung

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der t-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade f.

<R output="display">

pdf(rpdf,width=7,height=7)

curve(from=-3, to=3, dt(x, df=1), ylab="f(x)", col="red", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=5), ylab="f(x)", col="blue", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i") par(new=TRUE) curve(from=-3, to=3, dt(x, df=99999999), ylab="f(x)", col="green", ylim=c(0.0,0.45), lty=1, lwd=4, font.lab=2, xaxp = c(-3, 3, 6), yaxp=c(0.0, 0.4, 4), "yaxs"="i")

text(0, 0.29, "t=1", col="red", cex=1.5) text(0, 0.34, "t=5", col="blue", cex=1.5) text(0.12, 0.42, labels=expression(infinity), col="green", cex=1.5) text(-0.12, 0.42, labels="t=", col="green", cex=1.5)

title(main="Dichtefunktion (t-Verteilung)") box(which="outer") </R>

Beziehung zur Standardnormalverteilung

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum Erwartungswert E(T) = 0 (wie die Standardnormalverteilung).

Jedoch ist die Dichtefunktion der t-Verteilung flacher als die der Standardnormalverteilung.

Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere Streuung auf.

Die Varianz der Standardnormalverteilung ist 1, während die Varianz der t-Verteilung Var(T) = \frac{f}{f-2} größer als Eins ist (für f\geq 3).

Für f\rightarrow \infty konvergiert die Dichtefunktion der t-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Ab f\geq 30 kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.