T-Verteilung
Aus MM*Stat
Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
Student'sche t-Verteilung
Ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable,
und
eine von
unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable
mit dem Parameter
, dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen
Student'sche t-Verteilung oder t-Verteilung mit dem Parameter , oder kurz
.
Der Parameter ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable
.
Die Zufallsvariable hat den Wertebereich:
.
Für Erwartungswert und Varianz gilt:
Die Verteilungsfunktion der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.
Zusatzinformationen
Graphische Darstellung der t-Verteilung
Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der t-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade .
Beziehung zur Standardnormalverteilung
Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum Erwartungswert (wie die Standardnormalverteilung).
Jedoch ist die Dichtefunktion der t-Verteilung flacher als die der Standardnormalverteilung.
Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere Streuung auf.
Die Varianz der Standardnormalverteilung ist 1, während die Varianz der t-Verteilung größer als Eins ist (für
).
Für konvergiert die Dichtefunktion der t-Verteilung gegen die
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.
Ab kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.