T-Verteilung

Grundbegriffe

Student'sche t-Verteilung

Ist $Z\,$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, $Z\sim N(0,1)\,$ und $Y\,$ eine von $Z\,$ unabhängige Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable $Y\sim\chi^{2}(f)\,$ mit dem Parameter $f$, dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

$T=\cfrac{Z}{\sqrt{\cfrac{Y}{f}}}$

Student'sche t-Verteilung oder t-Verteilung mit dem Parameter $f$, oder kurz $t(f)\,$.

Der Parameter $f$ ist die Anzahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable $Y\,$.

Die Zufallsvariable $T$ hat den Wertebereich: $-\infty \leq T\leq +\infty$.

Für Erwartungswert und Varianz gilt:

$E[T]=0\; \mbox{, wenn } f>1$

$Var(T)=f/(f-2)\; \mbox{, wenn }f>2$

Die Verteilungsfunktion der t-Verteilung liegt für ausgewählte Werte des Parameters $f$ und ausgewählte Wahrscheinlichkeiten tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der t-Verteilung

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der t-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade $f$.

Beziehung zur Standardnormalverteilung

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist eine symmetrische Glockenkurve zum Erwartungswert $E(T) = 0$ (wie die Standardnormalverteilung).

Jedoch ist die Dichtefunktion der t-Verteilung flacher als die der Standardnormalverteilung.

Mit anderen Worten: Die Kurve der t-Verteilung weist eine geringere Höhe und eine größere Streuung auf.

Die Varianz der Standardnormalverteilung ist 1, während die Varianz der t-Verteilung $Var(T) = \frac{f}{f-2}$ größer als Eins ist (für $f\geq 3$).

Für $f\rightarrow \infty$ konvergiert die Dichtefunktion der t-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Ab $f\geq 30$ kann die t-Verteilung in guter Näherung durch die Standardnormalverteilung approximiert werden.