Stichprobentheorie/Video

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Stichprobentheorie

Stichprobentheorie • Stichprobe • Verteilung der Grundgesamtheit • Stichprobenvariable • Stichprobenfunktion • Zufallsauswahlmodelle • Stichprobenmittelwert • Schwaches Gesetz der großen Zahlen • Verteilung des Stichprobenmittelwertes • Verteilung der Stichprobenvarianz • Verteilung des Stichprobenanteilswertes • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Anteilswert der Grundgesamtheit • Auswahlsatz • Einfache Zufallsauswahl • Einfache Zufallsstichprobe • Erwartungswert der Grundgesamtheit • Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes • Induktiver Schluss • Mittelwert der Grundgesamtheit • Parameter der Grundgesamtheit • Parameter des Stichprobenmittelwertes • Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes • Standardfehler • Statistisches Element • Stichprobenanteilswert • Stichprobengröße • Stichprobenumfang • Stichprobenwerte • Stichprobenvarianz • Stichprobenverteilung • Uneingeschränkte Zufallsauswahl • Uneingeschränkte Zufallsstichprobe • Varianz der Grundgesamtheit • Varianz des Stichprobenmittelwertes • Varianzhomogenität • Varianzheterogenität • Verteilung einer Stichprobenfunktion • Zufallsauswahl • Zufallsauswahlmodell mit Zurücklegen • Zufallsauswahlmodell ohne Zurücklegen • Zufallsstichprobe

Finanzamt

Otto N. wartet auf dem Finanzamt. Er weiß, dass die Zeit T, die ein Klient im Zimmer der Beamten verbringt, exponentialverteilt ist: f(t)= \lambda  \cdot e ^{- \lambda t} Wenn Frau Hurtig Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 3 Minuten, falls Herr Lasch Dienst hat, beträgt die durchschnittliche Zeit für die Abfertigung einer Person 5 Minuten.

Otto N. registriert, dass die drei vor ihm wartenden Personen nach 1 Minute, 5 Minuten und 3 Minuten das Zimmer der Beamten wieder verlassen.

  • Stellen Sie die Likelihoodfunktion L(\lambda) für dieses Stichprobenergebnis auf!
  • Ermitteln Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert \lambda! Wer hat Ihrer Meinung nach Dienst?


Mittelwert und Varianz

Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n = 10 aus einer Grundgesamtheit ergab folgende Werte:

 2; 4; 3; 5; 1; 4; 5; 1; 2; 3 

Schätzen Sie “möglichst gut” aus diesen Daten den Mittelwert und die Varianz der Grundgesamtheit.


Unfallhäufigkeit

Sie interessieren sich für die Unfallhäufigkeit an einem Verkehrsknotenpunkt. Sowohl die Polizei als auch die Versicherungsgesellschaften haben diesen Sachverhalt bereits in der Vergangenheit untersucht, so dass Sie auf diese Unterlagen zurückgreifen können:

Versicherungsgesellschaft:

x 0 1 2 x\ne 0,1,2
P(X=x) 0,7 0,1 0,2 0

Polizei:

x 0 1 2 x\ne 0,1,2
P(X=x) 0,1 0,4 0,5 0

Leider unterscheiden sich beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen doch recht erheblich voneinander. Um zwischen beiden Verteilungen entscheiden zu können, stellen Sie sich selbst an 5 zufällig ausgewählten Stichtagen an diese Straßenkreuzung und registrieren die Unfälle. Die Stichprobe ergab folgendes Ergebnis: (0, 2, 0, 2, 1)

  • Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip?
  • Für welche der beiden Verteilungen entscheiden Sie sich nach der Methode der kleinsten Quadrate?