Stichprobentheorie/Lösungen
Aus MM*Stat
Inhaltsverzeichnis
Anteil der Studentinnen an allen Studierenden
Aus dem Aufgabentext: und
: “Anzahl der Studentinnen bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang
”
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(Y < 0,3 \cdot 30) + P(Y > 0,5 \cdot 30) & = & P(Y < 9) + P(Y > 15)\\ & = & P(Y \leq 8) + [1- P(Y \leq 15)]\\ & = & 0,0940 + (1 - 0,9029)\\ & = & 0,1911\\\end{aligned}
: “Anzahl der Studentinnen bei einer Zufallsstichprobe
”
;
Ausschussanteil
Menge der produzierten Teil
unendlich groß e Grundgesamtheit; Binomialverteilung;
,
Approximation mittels Poisson-Verteilung
: “Anzahl defekter Stücke in Zufallsstichprobe
”
0 1 2 3 4 5 0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031 ,
ganzzahlig
Betriebsunfälle
: “Anzahl der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”;
;
Approximation durch Normalverteilung
: “Anteil der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”;
Drei Personen
Mittelwert
und Varianz
der Grundgesamtheit: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \mu &=& \frac{20+22+24}{3} = 22\\ \sigma^2 &=& \frac{(20-22)^2+(22-22)^2+(24-22)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3}=\frac83\end{aligned}
Anordnung spielt eine Rolle
Variation, Wiederholung möglich
-
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 20 20 22 22 22 24 24 24 20 22 24 20 22 24 20 22 24 40 42 44 42 44 46 44 46 48 20 21 22 21 22 23 22 23 24 0 2 8 2 0 2 8 2 0 0 1 4 1 0 1 4 1 0 -
40 42 44 46 48 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(Y) &=\frac{40}{9}+\frac{42\cdot2}{9}+\frac{44\cdot3}{9}+\frac{46\cdot2}{9}+\frac{48\cdot1}{9}=44\\ Var(Y)&=\frac{(40-44)^2}{9}+\frac{(42-44)^2\cdot2}{9}+\frac{(44-44)^2\cdot3}{9}\\ &+\frac{(46-44)^2\cdot2}{9}+\frac{(48-44)^2}{9}\\ &=\frac{16}{9}+\frac{8}{9}+\frac{0}{9}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\end{aligned}
-
20 21 22 23 24 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(\bar{X}) &=\frac{20}{9}+\frac{21\cdot2}{9}+\frac{22\cdot3}{9}+\frac{23\cdot2}{9}+\frac{24\cdot1}{9}=22\\ E(\bar{X}) &= E\left(\frac{Y}{2}\right)=\frac12 E(Y)=22 \text{ (alternativ)}\\ Var(\bar{X})&=\frac{(20-22)^2}{9}+\frac{(21-22)^2\cdot2}{9}+\frac{(22-22)^2\cdot3}{9}\\ &+\frac{(23-22)^2\cdot2}{9}+\frac{(24-22)^2}{9}\\ &=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+\frac{0}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ Var(\bar{X})&= Var\left(\frac{Y}{2}\right)=\frac14 Var(Y)=\frac{4}{3} \text{ (alternativ)}\end{aligned}
-
0 2 8 3/9 4/9 2/9 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(S^2) &=&\frac{0\cdot 3}{9}+\frac{2\cdot 4}{9}+\frac{8\cdot2}{9}=\frac{24}{9}=\frac83\\\end{aligned}
-
0 1 4 3/9 4/9 2/9 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(S^{2}) &=&\frac{0\cdot 3}{9}+\frac{1\cdot 4}{9}+\frac{4\cdot2}{9}=\frac{12}{9}=\frac43\\ E(S^{\prime2}) &=& E(S^{\prime2}/2)=\tfrac12E(S^{\prime2})=\frac{8}{2\cdot3}=\frac43 \text{ (alternativ)}\end{aligned}
-
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 44 = E(Y) &=& n\cdot\mu = 2\cdot22 = 44\\ \frac{16}{3} =Var(Y) &=& n\cdot\sigma^{2} = 2\cdot\frac83= \frac{16}{3}\\\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 22 = E(\overline{X}) &=& \mu = 22\\ \frac43 =Var(\overline{X}) &=& \sigma^{2}/n = \frac8{3\cdot2}= \frac43\\\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \frac43=E({S'}^{2}) &=& \sigma^{2}\cdot(n-1)/n = \frac83 \frac12=\frac43\\\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \frac83=E(S^{2}) &=& \sigma^{2} = \frac83\end{aligned}
-
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 20 20 22 22 22 24 24 24 20 22 24 20 22 24 20 22 24 -
40 42 44 46 48 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9
,
-
20 21 22 23 24 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9
,
-
0 1 4 3/9 4/9 2/9
-
0 2 8 3/9 4/9 2/9
-
Die unter d) errechneten Ergebnisse stimmen mit den Behauptungen überein.
Erwartungswert und Varianz
;
;
;
;
Einpunkt
;
Lift
: “Gewicht von Person
”
;
: “Gesamtgewicht der 36 Personen”
ist approximativ [Z.G.S.,
]
Normal–Verteilung Approximation
- **
identisch verteilt
unabhängig
- Zentraler Grenzwertsatz
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} Y = \sum_{i=1}^n X_i &\approx& N(\bullet;\bullet) \mbox{ (ZGWS)}\\ E(Y) &=& E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = \sum_{i=1}^n \mu = n\cdot\mu\\ Var(Y) &=& Var\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \sum_{i=1}^n \sigma^2 = n\cdot\sigma^2\\ \end{aligned}
unabhängig und identisch verteilt,
(
),
und
0 existieren
- Zentraler Grenzwertsatz
ist approximativ
Spielautomat
: “Gewinn beim Spiel
”;
Tabletten gegen Kopfschmerzen
: “Wirkstoffmenge in einer Tablette”;
: “Durchschnittliche Wirkstoffmenge in einer Tablette”;
Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter
(weil )
(weil )
(weil )
Tennislehrer
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”
![]() |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ![]() |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
0 | 0,3 | 0,1 | 0 | 0 | 0,2 & 0,3 & 0,1 & 1
|
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(X_{i}) &=& 1\cdot 0,3+2\cdot0,1+5\cdot0,2+6\cdot0,3+7\cdot0,1=4\\ Var(X_{i}) &=& (1-4)^2\cdot0,3+(2-4)^2\cdot0,1+(5-4)^2\cdot0,2 \\ &+&(6-4)^2\cdot0,3+(7-4)^2\cdot0,1 = 5,4\end{aligned}
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”
1 Monat = 30 Tage mit 8 Trainungsstunden
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} Y &=& \sum_{i=1}^{8\cdot30} X_{i} \\ Y &\approx& N(\bullet;\bullet) \quad \text{ wegen ZGS}\\ E(Y) &=& E\left( \sum_{i=1}^{240} X_{i} \right)= \sum_{i=1}^{240} E(X_{i}) = 240\cdot4 = 960\\ Var(Y) &=& Var\left( \sum_{i=1}^{240} X_{i} \right)= \sum_{i=1}^{240} Var(X_{i}) = 240\cdot5,4 = 1296=36^2\end{aligned}
Die Kovarianzterme fallen weg, da
und
unabhängig sind.
Standardisierung:
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(900 \leq Y \leq 1000)&=& P\left(\frac{900-960}{36} \leq \frac{Y-960}{36} \leq \frac{1000-960}{36}\right)\\ &=& P(-1,67 \leq Z \leq 1,11)\\ &=& \Phi(1,11) - \Phi(-1,67)\\ &&\text{Eigenschaft der Standardnormalverteilung: } \Phi(-z)=1-\Phi(z)\\ &=& \Phi(1,11) - (1 - \Phi(1,67))\\ &=& 0,81904\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(Y > 1050) &=& P\left(\frac{Y-960}{36}>\frac{1050-960}{36}\right)\\ &=& P(Z > 2,5)= 1-\Phi(2,5) = 0,00621\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,99 &=& P( y_{u} \leq Y \leq y_{o}) \\ &=& P\left(\frac{y_{u}-960}{36} \leq Z \leq \frac{y_{o}-960}{36}\right) \\ &=& \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right) - \Phi\left(\frac{y_{u}-960}{36}\right)\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right)=0,995 &\Rightarrow & \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right) = 2,5\\ y_{u} &=& 960 - 2,58 \cdot 36 = 867,12 \\ y_{o} &=& 960 + 2,58 \cdot 36 = 1052,88\end{aligned}
identisch verteilt, da nur ein Verteilungsmodell für alle Schüler angesetzt
unabhängig, da alles unterschiedliche Schüler
Hinweis: Es handelt sich nur um ein wegen der letzen beiden Bedingungen
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”;
;
: “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”;
ist approximativ [Z.G.S.;
]
;
,
- Z.G.S,
sind iid;
Tippfehler
: “Anzahl der Tippfehler im Manuskript”;
ist approximativ (ZGWS.;
)
,
;
(i)
,
(ii),
(iii)ohne Stetigkeitskorrektur:
,
mit Stetigkeitskorrektur (nicht zulässig, da
):
bzw. mit
(iv)
Urne
: “Anteil roter Kugeln in der Stichprobe”;
;
: “Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe”;
;
Approximation durch
;
;
;
Approximation durch N(
; bei Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur:
- Approximation durch
, wegen
kann Korrekturfaktor vernachlässigt werden;