Stichprobentheorie/Lösungen

Inhaltsverzeichnis

1 Anteil der Studentinnen an allen Studierenden
2 Ausschussanteil
3 Betriebsunfälle
4 Drei Personen
5 Erwartungswert und Varianz
6 Lift
7 Normal–Verteilung Approximation
8 Spielautomat
9 Tabletten gegen Kopfschmerzen
10 Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter
11 Tennislehrer
12 Tippfehler
13 Urne

Anteil der Studentinnen an allen Studierenden

Aus dem Aufgabentext: $\pi = 0,4$ und $n = 30$

$Y$ : “Anzahl der Studentinnen bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n = 30$ ”

$Y \sim B(n; \pi)=B(30;0,4)$

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(Y < 0,3 \cdot 30) + P(Y > 0,5 \cdot 30) & = & P(Y < 9) + P(Y > 15)\\ & = & P(Y \leq 8) + [1- P(Y \leq 15)]\\ & = & 0,0940 + (1 - 0,9029)\\ & = & 0,1911\\\end{aligned}

$Y$ : “Anzahl der Studentinnen bei einer Zufallsstichprobe $n = 30$ ”

$Y \sim B(30;0,4)$ ; $P[(Y < 9) \cup (Y > 15)] = 0,1911$

Ausschussanteil

Menge der produzierten Teil $\approx$ unendlich groß e Grundgesamtheit; Binomialverteilung; $n = 50$ , $\pi = 0,02$ $\Rightarrow$ Approximation mittels Poisson-Verteilung
$X$ : “Anzahl defekter Stücke in Zufallsstichprobe $n = 50$ ”

$x$ 0 1 2 3 4 5

$P(X = x)$ 0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031
$P(X \leq k) = 0,95$ , $k$ ganzzahlig $\Rightarrow k = 3$

Betriebsunfälle

$X$ : “Anzahl der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”; $X\sim B(60;0,2)$

$np = 12 > 5$ ; $n(1-\pi) = 48 > 5$ $\Rightarrow$ Approximation durch Normalverteilung

$\hat{\Pi}$ : “Anteil der Schwerverletzten bei 60 Betriebsunfällen”; $X \approx N(0,2;0,0516)$

$P(\widehat{\pi} < 0,3) = 0,97381$
$P(\widehat{\pi} > 0,2) = 0,5$
$P(0,15 \leq \widehat{\pi} < 0,25) = 0,667954$

Drei Personen

Datei:7-1 Drei Personen.xlsx

Mittelwert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ der Grundgesamtheit: Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \mu &=& \frac{20+22+24}{3} = 22\\ \sigma^2 &=& \frac{(20-22)^2+(22-22)^2+(24-22)^2}{3} = \frac{4+0+4}{3}=\frac83\end{aligned}
Anordnung spielt eine Rolle $\Rightarrow$ Variation, Wiederholung möglich $V^W(3;2)=3^2=9$

Nr.		1	2	3	4	5	6	7	8	9
$x_{1 }$		20	20	20	22	22	22	24	24	24
$x_{2 }$		20	22	24	20	22	24	20	22	24
	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$	$\frac19$
$y$	$20+20=$	40	42	44	42	44	46	44	46	48
$\bar{x}$	$\frac{20+20}{2}=$	20	21	22	21	22	23	22	23	24
$s^{2\prime}$	$\frac{(20-20)^2+(20-20)^2}{1}=$	0	2	8	2	0	2	8	2	0
$s^{2}$	$\frac{(20-20)^2+(20-20)^2}{2}=$	0	1	4	1	0	1	4	1	0

$y$ 40 42 44 46 48

$P(Y=y)$ 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(Y) &=\frac{40}{9}+\frac{42\cdot2}{9}+\frac{44\cdot3}{9}+\frac{46\cdot2}{9}+\frac{48\cdot1}{9}=44\\ Var(Y)&=\frac{(40-44)^2}{9}+\frac{(42-44)^2\cdot2}{9}+\frac{(44-44)^2\cdot3}{9}\\ &+\frac{(46-44)^2\cdot2}{9}+\frac{(48-44)^2}{9}\\ &=\frac{16}{9}+\frac{8}{9}+\frac{0}{9}+\frac{8}{9}+\frac{16}{9}=\frac{48}{9}=\frac{16}{3}\end{aligned}
$\overline{x}$ 20 21 22 23 24

$P(\bar{X}=\bar{x})$ 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(\bar{X}) &=\frac{20}{9}+\frac{21\cdot2}{9}+\frac{22\cdot3}{9}+\frac{23\cdot2}{9}+\frac{24\cdot1}{9}=22\\ E(\bar{X}) &= E\left(\frac{Y}{2}\right)=\frac12 E(Y)=22 \text{ (alternativ)}\\ Var(\bar{X})&=\frac{(20-22)^2}{9}+\frac{(21-22)^2\cdot2}{9}+\frac{(22-22)^2\cdot3}{9}\\ &+\frac{(23-22)^2\cdot2}{9}+\frac{(24-22)^2}{9}\\ &=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}+\frac{0}{9}+\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}\\ Var(\bar{X})&= Var\left(\frac{Y}{2}\right)=\frac14 Var(Y)=\frac{4}{3} \text{ (alternativ)}\end{aligned}
$s^{\prime2}$ 0 2 8

$P(S^{\prime2}=s^{\prime2})$ 3/9 4/9 2/9

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(S^2) &=&\frac{0\cdot 3}{9}+\frac{2\cdot 4}{9}+\frac{8\cdot2}{9}=\frac{24}{9}=\frac83\\\end{aligned}
$s^{2}$ 0 1 4

$P(S^{\prime2}=s^{2})$ 3/9 4/9 2/9

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(S^{2}) &=&\frac{0\cdot 3}{9}+\frac{1\cdot 4}{9}+\frac{4\cdot2}{9}=\frac{12}{9}=\frac43\\ E(S^{\prime2}) &=& E(S^{\prime2}/2)=\tfrac12E(S^{\prime2})=\frac{8}{2\cdot3}=\frac43 \text{ (alternativ)}\end{aligned}

- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 44 = E(Y) &=& n\cdot\mu = 2\cdot22 = 44\\ \frac{16}{3} =Var(Y) &=& n\cdot\sigma^{2} = 2\cdot\frac83= \frac{16}{3}\\\end{aligned}
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 22 = E(\overline{X}) &=& \mu = 22\\ \frac43 =Var(\overline{X}) &=& \sigma^{2}/n = \frac8{3\cdot2}= \frac43\\\end{aligned}
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \frac43=E({S'}^{2}) &=& \sigma^{2}\cdot(n-1)/n = \frac83 \frac12=\frac43\\\end{aligned}
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \frac83=E(S^{2}) &=& \sigma^{2} = \frac83\end{aligned}

$\mu = 22; \sigma^{2} = 8/3$
$V^{W}(3,2) = 9$
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

$x_{1 }$ 20 20 20 22 22 22 24 24 24

$x_{2 }$ 20 22 24 20 22 24 20 22 24
- $y$ 40 42 44 46 48
  
  $f(y)$ 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9
  
  $E(Y) =44$ , $Var(Y) = 16/3$
- $\overline{x}$ 20 21 22 23 24
  
  $f(\overline{x})$ 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9
  
  $E(\overline{x}) = 22$ , $Var(\overline{x}) = 4/3$
- $s'^{2}$ 0 1 4
  
  $f(s'^{2})$ 3/9 4/9 2/9
  
  $E(S'^{2}) = 4/3$
- $s^{2}$ 0 2 8
  
  $f(s^{2})$ 3/9 4/9 2/9
  
  $E(S^{2}) = 8/3$
Die unter d) errechneten Ergebnisse stimmen mit den Behauptungen überein.

Erwartungswert und Varianz

$\sum_{i=1}^n X_{i} \sim B(n;p)$ ; $E(\sum_{i=1}^n X_{i}) = np$ ; $Var(\sum_{i=1}^n X_{i}) = np(1-p)$
$\sum_{i=1}^n X_{i} \sim N(n\mu;\sqrt{n\sigma^{2}})$ ; $E(\sum_{i=1}^n X_{i}) = n\mu$ ; $Var(\sum_{i=1}^n X_{i}) = n\sigma^{2}$
$\sum_{i=1}^n X_{i} \sim$ Einpunkt $(n\mu)$ ; $E(\sum_{i=1}^n X_{i}) = n\mu;$ $Var(\sum_{i=1}^n X_{i}) = 0$

Lift

$X_{i}$ : “Gewicht von Person $i$ ”

$E(X_{i}) = 72$ ; $Var(X_{i}) = 24^{2}$

$\sum_{i=1}^{36} X_{i}$ : “Gesamtgewicht der 36 Personen”

$\sum_{i=1}^{36} X_{i}$ ist approximativ [Z.G.S., $n > 30$ ] $N(n\mu; \sqrt{n\sigma^{2}})$

$P(\sum_{i=1}^{36} > 2800) = 0,074934$

Normal–Verteilung Approximation

**
- $E(X_{i}) \neq \pm \infty$
- $0<Var(X_{i})<\infty$
- $X_{i}$ identisch verteilt
- $X_{i}$ unabhängig
Zentraler Grenzwertsatz
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} Y = \sum_{i=1}^n X_i &\approx& N(\bullet;\bullet) \mbox{ (ZGWS)}\\ E(Y) &=& E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = \sum_{i=1}^n \mu = n\cdot\mu\\ Var(Y) &=& Var\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \sum_{i=1}^n \sigma^2 = n\cdot\sigma^2\\ \end{aligned}

$X_{i}$ unabhängig und identisch verteilt, $n \to \infty$ ( $n > 30$ ), $E(X_{i})$ und $Var(X_{i}) >$ 0 existieren
Zentraler Grenzwertsatz
$Y$ ist approximativ $N(n\cdot\mu; \sqrt{n\cdot\sigma^{2}})$

Spielautomat

$X_{i}$ : “Gewinn beim Spiel $i$ ”; $X_{i} \sim N(0;1)$

$\sum_{i=1}^{16} X_{i} \sim N(0;4)$

$P(\sum_{i=1}^n X_{i} > 16) = 0,000032$

Tabletten gegen Kopfschmerzen

$X_{i}$ : “Wirkstoffmenge in einer Tablette”; $X_{i} \sim N(\mu;\sigma)$

$\overline{X}$ : “Durchschnittliche Wirkstoffmenge in einer Tablette”; $\overline{X}\sim N(\mu;\sigma/\sqrt{n})$

$P( \overline{X} >\mu+\frac{1}{2}) =P \left (\frac{ \overline X- \mu}{\sigma/ \sqrt{n}} >\frac{\sqrt{n}}{2 \sigma} \right) =1- \Phi \left( \frac{\sqrt{n}}{2 \sigma} \right)$

$P(Z > 2)=0,02275$
$P(Z > 4)=0,000032$
$P(Z > 2)=0,02275$

Tabletten gegen Kopfschmerzen, weiter

$P(S^{*2} > 2\sigma^{2}) = P(nS^{*2}/\sigma^{2} > 2n) = P(nS^{*2}/\sigma^{2} > 14) \approx 0,05$

(weil $nS^{*2}/\sigma^{2}\sim \chi^2_{n}$ )

$P(S^{*2} > 2\sigma^{2}) = P(nS^{*2}/\sigma^{2} > 2n) = P(nS^{*2}/\sigma^{2} > 32) \approx 0,01$

(weil $nS^{*2}/\sigma^{2}\sim \chi^2_{n}$ )

$P(S^{2} > 2\sigma^{2}) = P[(n-1)S^{2}/\sigma^{2} > 2(n-1)] = P[(n-1)S^{2}/\sigma^{2} > 30) \approx 0,01$

(weil $nS^{2}/\sigma^{2}\sim \chi^2_{n-1}$ )

Tennislehrer

$X_{i}$ : “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	$\sum$
$P(X_i = x)$	0	0,3	0,1	0	0	0,2 & 0,3 & 0,1 & 1

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} E(X_{i}) &=& 1\cdot 0,3+2\cdot0,1+5\cdot0,2+6\cdot0,3+7\cdot0,1=4\\ Var(X_{i}) &=& (1-4)^2\cdot0,3+(2-4)^2\cdot0,1+(5-4)^2\cdot0,2 \\ &+&(6-4)^2\cdot0,3+(7-4)^2\cdot0,1 = 5,4\end{aligned}

$Y$ : “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”
1 Monat = 30 Tage mit 8 Trainungsstunden

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} Y &=& \sum_{i=1}^{8\cdot30} X_{i} \\ Y &\approx& N(\bullet;\bullet) \quad \text{ wegen ZGS}\\ E(Y) &=& E\left( \sum_{i=1}^{240} X_{i} \right)= \sum_{i=1}^{240} E(X_{i}) = 240\cdot4 = 960\\ Var(Y) &=& Var\left( \sum_{i=1}^{240} X_{i} \right)= \sum_{i=1}^{240} Var(X_{i}) = 240\cdot5,4 = 1296=36^2\end{aligned}

Die Kovarianzterme $Cov(X_i,X_j)$ fallen weg, da $X_i$ und $X_j$ unabhängig sind.

Standardisierung: $\displaystyle Z=\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{Var(Y)}}\approx N(0;1) \Rightarrow Z=\frac{Y-960}{36}$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(900 \leq Y \leq 1000)&=& P\left(\frac{900-960}{36} \leq \frac{Y-960}{36} \leq \frac{1000-960}{36}\right)\\ &=& P(-1,67 \leq Z \leq 1,11)\\ &=& \Phi(1,11) - \Phi(-1,67)\\ &&\text{Eigenschaft der Standardnormalverteilung: } \Phi(-z)=1-\Phi(z)\\ &=& \Phi(1,11) - (1 - \Phi(1,67))\\ &=& 0,81904\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} P(Y > 1050) &=& P\left(\frac{Y-960}{36}>\frac{1050-960}{36}\right)\\ &=& P(Z > 2,5)= 1-\Phi(2,5) = 0,00621\end{aligned}
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} 0,99 &=& P( y_{u} \leq Y \leq y_{o}) \\ &=& P\left(\frac{y_{u}-960}{36} \leq Z \leq \frac{y_{o}-960}{36}\right) \\ &=& \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right) - \Phi\left(\frac{y_{u}-960}{36}\right)\end{aligned}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right)=0,995 &\Rightarrow & \Phi\left(\frac{y_{o}-960}{36}\right) = 2,5\\ y_{u} &=& 960 - 2,58 \cdot 36 = 867,12 \\ y_{o} &=& 960 + 2,58 \cdot 36 = 1052,88\end{aligned}
- $n=240 > 30$
- $E(X_{i})=4 \neq \pm \infty$
- $0< Var(X_{i})=5,4 <\infty$
- $X_{i}$ identisch verteilt, da nur ein Verteilungsmodell für alle Schüler angesetzt
- $X_{i}$ unabhängig, da alles unterschiedliche Schüler
Hinweis: Es handelt sich nur um ein wegen der letzen beiden Bedingungen

$X_{i}$ : “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Schüler in einer Trainingsstunde”; $E(X_{i}) = 4$ ; $Var(X_{i}) = 5,4$

$Y$ : “Anzahl der über den Zaun geschlagenen Bälle pro Monat”; $Y = \Sigma_{i} X_{i}$

$Y$ ist approximativ [Z.G.S.; $n>30$ ] $N(960;36)$

$P(900 \leq Y \leq 1000) = 0,81904$
$P(Y > 1050) = 0,00621$
$P(? \leq Y \leq ?) = 0,99$ ; $y_{u} = 867,12$ , $y_{o}= 1052,88$
Z.G.S, $X_{i}$ sind iid; $n > 30$

Tippfehler

$Y$ : “Anzahl der Tippfehler im Manuskript”; $n = 1100$

$Y = \sum_{i=1}^n X_{i}$ ist approximativ (ZGWS.; $n>30$ ) $N(n\mu; \sqrt{n\sigma^{2}})$ ,
$E(Y) = n\mu = 1540$ ; $Var(Y) = n\sigma^{2} = 484$
(i) $P(Y \geq 1600) = 0,0032$ ,
(ii) $P(1500 \leq Y \leq 1650) = 0,9656$ ,
(iii)
- ohne Stetigkeitskorrektur: $P(Y = 1540) = 0$ ,
- mit Stetigkeitskorrektur (nicht zulässig, da $\sigma^2>9$ ):
  $P(1539,5\leq Y\leq 1540,5) \approx \Phi(0,02)-\Phi(-0,02)= 0,015956$
  bzw. mit $\Phi(0,02272727)-\Phi(-0,02272727) = 0,01813218$
(iv) $P(Y \leq 1540) = 0,5$

Urne

$\widehat{\pi}$ : “Anteil roter Kugeln in der Stichprobe”; $\widehat{\pi} = X/n$ ; $X$ : “Anzahl roter Kugeln in der Stichprobe”; $X \sim H(N;M;n)$

$X \sim H(5;2;3)$ ; $P(p_{1} \leq \widehat{\pi} \leq p_{2}) = P(x_{1} \leq X \leq x_{2}) = P(1 \leq X \leq 2) = 0,9$
$n/N < 0,05$ $\Rightarrow$ Approximation durch $B(4;0,2)$ ; $P(1 \leq X \leq 3) = 0,5888$
$n\pi(1-\pi) = 16 > 9$ ; $0,1 < M/N < 0,9$ ; $n > 30$ $\Rightarrow$ Approximation durch N( $0,2;0,031)$ ; bei Berücksichtigung der Stetigkeitskorrektur: $P(0,095 \leq \widehat{\pi} \leq 0,305) = 0,999276$
Approximation durch $N(0,2;0,04)$ , wegen $n/N < 0,05$ kann Korrekturfaktor vernachlässigt werden; $P(0,14 \leq \widehat{\pi} \leq 0,3) = 0,926983$