Stichprobenmittelwert

Grundbegriffe

Stichprobenmittelwert

Eine der wichtigsten Stichprobenfunktionen ist der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}$.

Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist eine Funktion der Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$:

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$

Vor der Ziehung der Stichprobe sind die Stichprobenvariablen Zufallsvariablen, so dass der Stichprobenmittelwert ${\bar {X}}$ ebenfalls eine Zufallsvariable ist.

Nach der Ziehung der Stichprobe liegen die konkreten Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor und der Stichprobenmittelwert realisiert sich zu dem Wert

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$

Parameter des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit $F(x)$, der Erwartungswert der Grundgesamtheit $E[X]=\mu$ und die Varianz der Grundgesamtheit $Var(X)=\sigma ^{2}$ vorausgesetzt.

Im folgenden werden nun die drei wichtigsten Parameter des Stichprobenmittelwertes beschrieben, der Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes, die Varianz des Stichprobenmittelwertes und die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes.

Diese Ergebnisse gelten unabhängig von der konkreten Form der Verteilung des Stichprobenmittelwertes.

Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes

Für den Erwartungswert des Stichprobenmittelwertes ergibt sich bei einer einfachen Zufallsstichprobe und bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe

$E[{\bar {X}}]=\mu$

Varianz des Stichprobenmittelwertes

Für die Varianz des Stichprobenmittelwertes ergibt sich:

• bei einer einfachen Zufallsstichprobe

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

• bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

Wenn die Varianz der Grundgesamtheit $Var(X)=\sigma ^{2}$ unbekannt ist, muss sie unter Verwendung der Stichprobenfunktion $S^{2}$ aus der Stichprobe geschätzt werden.

In den obigen Formeln muss die wahre Varianz $\sigma ^{2}$ durch die Stichprobenfunktion $S^{2}$ ersetzt werden, wodurch man für die Varianz des Stichprobenmittelwertes $\sigma ^{2}({\bar {X}})$ nur eine Schätzung ${\widehat {\sigma }}^{2}({\bar {X}})$ erhält:

• für eine einfache Zufallsstichprobe

${\widehat {\sigma ^{2}}}({\bar {X}})={\frac {s^{2}}{n}}$

• für eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe

${\widehat {\sigma ^{2}}}({\bar {X}})={\frac {s^{2}}{n}}\cdot {\frac {N-n}{N-1}}$

Hierbei bezeichne der Faktor ${\frac {N-n}{N-1}}$ die Endlichkeitskorrektur.

Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes oder Standardfehler

Für die Standardabweichung des Stichprobenmittelwertes ergibt sich:

• bei einer einfachen Zufallsstichprobe

$\sigma ({\bar {X}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$

• bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe

$\sigma ({\bar {X}})={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\cdot {\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}$

wobei ${\frac {N-n}{N-1}}$ die Endlichkeitskorrektur bezeichne.

Die Standardabweichung einer Stichprobenfunktion wird oft auch als Standardfehler bezeichnet.

Zusatzinformationen

Herleitung des Erwartungswertes des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit $F(x)$, der Erwartungswert der Grundgesamtheit $E[X]=\mu$ und die Varianz der Grundgesamtheit $Var(X)=\sigma ^{2}$ vorausgesetzt.

Die Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ besitzen alle die gleiche Verteilung $F(x_{i})=F(x)$, den Erwartungswert $E[X_{i}]=\mu$ und die Varianz $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$.

Unter Verwendung der für Linearkombinationen von Zufallsvariablen gültigen Regeln ergibt sich:

$E[{\bar {X}}]=E\left[{\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right]={\frac {1}{n}}\cdot E\left[\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right]={\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}E[X_{i}]={\frac {1}{n}}\cdot n\cdot \mu =\mu$

wobei $E[X_{i}]=\mu$ berücksichtigt wurde.

Dieses Ergebnis resultiert sowohl für eine einfache Zufallsstichprobe als auch für eine uneingeschränkte Zufallsstichprobe.

Darüber hinaus ist ersichtlich, dass $E[{\bar {X}}]=\mu$ für Stichproben jeden Stichprobenumfanges gilt.

Herleitung der Varianz des Stichprobenmittelwertes

Es sei eine Verteilung der Grundgesamtheit $F(x)$, der Erwartungswert der Grundgesamtheit $E[X]=\mu$ und die Varianz der Grundgesamtheit $Var(X)=\sigma ^{2}$ vorausgesetzt.

Die Stichprobenvariablen $X_{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ besitzen alle die gleiche Verteilung $F(x_{i})=F(x)$, den Erwartungswert $E[X_{i}]=\mu$ und die Varianz $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$.

Einfache Zufallsstichprobe

Für eine einfache Zufallsstichprobe ergibt sich:

$Var({\bar {X}})$	$=E\left[\left({\bar {X}}-E[{\bar {X}}]\right)^{2}\right]=E\left[\left({\bar {X}}-\mu \right)^{2}\right]$
	$=E\left[\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )\right)^{2}\right]$
	$=E\left[\left({\frac {1}{n}}\cdot (X_{1}-\mu )+\dots +{\frac {1}{n}}\cdot (X_{n}-\mu )\right)^{2}\right]$
	$={\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(E[X_{1}-\mu ]^{2}+\dots +E[X_{n}-\mu ]^{2}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{j\neq i}E[X_{i}-\mu ]\cdot E[X_{j}-\mu ]\right)$
	$={\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(Var(X_{1})+\dots +Var(X_{n})+\sum \limits _{i}\sum \limits _{j\neq i}Cov(X_{i},X_{j})\right)$

Da $Var(X_{i})=\sigma ^{2}$ für alle $i=1,\ldots ,n$ ist und bei einer einfachen Zufallsstichprobe wegen der Unabhängigkeit der Stichprobenvariablen $Cov(X_{i},X_{j})=0$ gilt, resultiert

$Var({\bar {X}})={\frac {1}{n^{2}}}\cdot n\cdot \sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

Aus diesem Ergebnis wird deutlich, dass die Varianz des Stichprobenmittelwertes ${\bar {X}}$ kleiner ist als die Varianz der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit und immer kleiner wird, je größer der Stichprobenumfang $n$ wird.

Für großes $n$ konzentriert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von ${\bar {X}}$ relativ eng um den Erwartungswert $\mu$.

Uneingeschränkte Zufallsstichprobe

Die Herleitung der $Var({\bar {X}})$ im Falle einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe ist in ähnlicher Weise wie bei der einfachen Zufallsstichprobe zu führen, ist aber wegen der Abhängigkeit der Stichprobenvariablen aufwendiger.

Bezüglich der Endlichkeitskorrektur kann für große Grundgesamtheiten näherungsweise

${\frac {N-n}{N-1}}\approx {\frac {N-n}{N}}$

gesetzt werden, womit sich eine approximative Endlichkeitskorrektur von $1-{\frac {n}{N}}$ ergibt. Darin ist ${\frac {n}{N}}$ der Auswahlsatz der Stichprobe.

$n$ kann bei einer uneingeschränkten Zufallsstichprobe nicht größer als $N$ werden.

Für einen festen Stichprobenumfang $n$ strebt die Endlichkeitskorrektur mit wachsendem $N$ gegen 1:

$\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N-n}{N-1}}=1$

In praktischen Anwendungsfällen kann deshalb die Endlichkeitskorrektur vernachlässigt werden, wenn $n$ bezüglich $N$ genügend klein ist. Faustregel: bei einem Auswahlsatz von ${\frac {n}{N}}\leq 0,05$.

Allerdings erhält man dann nur einen Näherungswert für $Var({\bar {X}})$.

Beispiele

Klausur

An der Klausur zu einer Lehrveranstaltung im Hauptstudium nehmen $N=7$ Studenten teil und erreichen die nachstehenden Punktzahlen.

Tabelle 1:

Student	A	B	C	D	E	F	G
Punktzahl	10	11	11	12	12	12	16

Für das Merkmal $X=\;$ "Punktzahl der Klausur" resultiert in der Grundgesamtheit folgende Häufigkeitsverteilung.

Tabelle 2:

$x\;$	$h(x)\;$	$f(x)={\frac {h(x)}{N}}$	$F(x)\;$
10	1	1/7	1/7
11	2	2/7	3/7
12	3	3/7	6/7
16	1	1/7	7/7

mit $\mu =12,\;\sigma ^{2}=3,143$ und $\sigma =1,773$.

Zufallsauswahl mit Zurücklegen

Aus der Grundgesamtheit werden $n=2$ Klausuren mit Zurücklegen entnommen.

Die Tabelle 3 enthält alle möglichen Stichproben vom Umfang $n=2$ mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.

Tabelle 3:

1. Klausur	2. Klausur
	10	11	11	12	12	12	16
10	10;10	10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11	11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12	12;12	12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12	16;16

Für jede Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 4 aufgelistet.

Tabelle 4:

1. Klausur	2. Klausur
	10	11	11	12	12	12	16
10	10	10,5	10,5	11	11	11	13
11	10,5	11	11	11,5	11,5	11,5	13,5
11	10,5	11	11	11,5	11,5	11,5	13,5
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
12	11	11,5	11,5	12	12	12	14
16	13	13,5	13,5	14	14	14	16

${\bar {X}}$ kann somit verschiedene Werte mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten annehmen.

Aus Tabelle 4 lässt sich die Verteilung von ${\bar {X}}$ bestimmen (Spalte 1 und 2 der Tabelle 5).

Tabelle 5:

${\bar {X}}$	$P({\bar {X}})$	${\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]$	$\left({\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]\right)^{2}$	$\left({\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]\right)^{2}\cdot P({\bar {x}})$
10	1/49	-2	4	4/49
10,5	4/49	-1,5	2,25	9/49
11	10/49	-1	1	10/49
11,5	12/49	-0,5	0,25	3/49
12	9/49	0	0	0
13	2/49	1	1	2/49
13,5	4/49	1,5	2,25	9/49
14	6/49	2	4	24/49
16	1/49	4	16	16/49

Berechnet man für diese Verteilung das arithmetische Mittel, d.h. den Erwartungswert von ${\bar {X}}$ , so ergibt sich:

$E\left[{\bar {X}}\right]={\frac {588}{49}}=12$.

Dies entspricht dem Erwartungswert der Zufallsvariablen $X\;$ in der Grundgesamtheit: $E\left[X\right]=12\;$.

Für die Varianz von ${\bar {X}}$ folgt entsprechend den Zwischenergebnissen in den Spalten 3 - 5 der Tabelle 5:

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {77}{49}}={\frac {11}{7}}=1,5714$

Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von $\sigma ^{2}({\bar {X}})$

$\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}={\frac {\frac {22}{7}}{2}}={\frac {11}{7}}$

Es ist deutlich erkennbar, dass die Varianz von ${\bar {X}}$ kleiner ist als die Varianz von $X\;$ in der Grundgesamtheit.

Zufallsauswahl ohne Zurücklegen

Aus der Grundgesamtheit werden $n=2$ Klausuren ohne Zurücklegen entnommen.

Die Tabelle 6 zeigt alle möglichen Stichproben vom Umfang $n=2$ ohne Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge.

Tabelle 6:

1. Klausur	2. Klausur
	10	11	11	12	12	12	16
10		10;11	10;11	10;12	10;12	10;12	10;16
11	11;10		11;11	11;12	11;12	11;12	11;16
11	11;10	11;11		11;12	11;12	11;12	11;16
12	12;10	12;11	12;11		12;12	12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12		12;12	12;16
12	12;10	12;11	12;11	12;12	12;12		12;16
16	16;10	16;11	16;11	16;12	16;12	16;12

Für jede Stichprobe wird das arithmetische Mittel bestimmt. Die Werte werden in Tabelle 7 aufgelistet.

Tabelle 7:

1. Klausur	2. Klausur
	10	11	11	12	12	12	16
10		10,5	10,5	11	11	11	13
11	10,5		11	11,5	11,5	11,5	13,5
11	10,5	11		11,5	11,5	11,5	13,5
12	11	11,5	11,5		12	12	14
12	11	11,5	11,5	12		12	14
12	11	11,5	11,5	12	12		14
16	13	13,5	13,5	14	14	14

Tabelle 8 enthält in den Spalten 1 und 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Stichprobenmittelwertes ${\bar {X}}$

Tabelle 8:

${\bar {X}}$	$P({\bar {X}})$	${\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]$	$\left({\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]\right)^{2}$	$\left({\bar {X}}-E\left[{\bar {X}}\right]\right)^{2}\cdot P({\bar {x}})$
10,5	4/42	-1,5	2,25	9/42
11	8/42	-1	1	8/42
11,5	12/42	- 0,5	0,25	3/42
12	6/42	0	0	0
13	2/42	1	1	2/42
13,5	4/42	1,5	2,25	9/42
14	6/42	2	4	24/42

Der Erwartungswert $E\left[{\bar {X}}\right]$ dieser Verteilung ergibt sich zu

$E({\bar {X}})={\frac {504}{42}}=12$

und entspricht somit dem Erwartungswert von $X\;$ in der Grundgesamtheit.

Für die Varianz $Var({\bar {X}})$ folgt:

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})={\frac {55}{42}}=1,3095$.

Dieses Ergebnis entspricht der angegebenen Formel zur Berechnung von $\sigma ^{2}({\bar {X}})$:

$Var({\bar {X}})=\sigma ^{2}({\bar {X}})$	$={\cfrac {\sigma ^{2}}{n}}\cdot {\cfrac {N-n}{N-1}}$
	$={\cfrac {\frac {22}{7}}{2}}\cdot {\cfrac {7-2}{7-1}}={\cfrac {22\cdot 5}{7\cdot 2\cdot 6}}={\cfrac {55}{42}}$