Stetige Gleichverteilung
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Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
Stetige Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsvariable , die nur Werte im Intervall
annehmen kann, heißt gleichverteilt, wenn ihre Dichte die folgende Form hat:
Für die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung gilt:
Für den Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Gleichverteilung gilt
Die stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern und
ab.
Zusatzinformationen
Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung
Es ist zu prüfen, ob die Funktion
eine Dichtefunktion ist:
Da ist, folgt
für alle
, d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder
oberhalb der Abszisse.
Weiterhin gilt
.
Mit obiger Funktion ist somit eine Dichtefunktion gegeben.
Man erhält den Wert der Verteilungsfunktion wie folgt:
Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:
Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.
Beispiele
Straßenbahn
Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt.
Die Zufallsvariable : "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall
annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt.
Damit folgt
mit
und
.
Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die stetige Zufallsvariable als gleichverteilt angesehen werden.
Damit ist die Dichtefunktion von :
Die Verteilungsfunktion lautet:
Der Erwartungswert von ist
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Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.
Die Varianz ist
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Die Standardabweichung ist somit .
Die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion sehen wie folgt aus: