Stetige Gleichverteilung

Eine stetige Zufallsvariable $X$ , die nur Werte im Intervall $[a,b]$ annehmen kann, heißt gleichverteilt, wenn ihre Dichte die folgende Form hat:

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\ 0\quad & \mbox{, sonst} \end{cases}$

Für die Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung gilt:

$F(x) = \begin{cases} 0 \quad & \mbox{, wenn } x < a \\ \frac{x - a}{b - a} \quad & \mbox{, wenn }a \leq x \leq b \\ 1 \quad & \mbox{, wenn } b \leq x\end{cases}$

Für den Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Gleichverteilung gilt

$E[X] = \frac{b + a}{2}$

$Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$

Die stetige Gleichverteilung hängt von den Parametern $a$ und $b$ ab.

Zusatzinformationen

Erklärungen zur stetigen Gleichverteilung

Es ist zu prüfen, ob die Funktion

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}\quad & \mbox{, wenn } a\leq x\leq b \\ 0\quad & \mbox{, sonst} \end{cases}$

eine Dichtefunktion ist:

Da $b > a$ ist, folgt $f(x) \geq 0$ für alle $x$ , d.h. die Funktion verläuft in jedem Bereich der reellen Zahlen auf oder oberhalb der Abszisse.

Weiterhin gilt

$\int\limits_{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{b-a}\,dx=\left[ \frac{x}{b-a}\right] _{a}^{b}=\frac{b-a}{b-a}=1$ .

Mit obiger Funktion $f(x)$ ist somit eine Dichtefunktion gegeben.

Man erhält den Wert der Verteilungsfunktion $F(x)$ wie folgt:

$F(x) = \int\limits_a^x\cdot \frac{1}{b - a}\,dv = \left[ \frac{v}{b - a} \right]_a^x = \frac{x - a}{b - a}$

Erwartungswert und Varianz ergeben sich zu:

$E(X) = \int\limits_a^b x\cdot \frac{1}{b - a}\,dx = \left[ \frac{x^2}{2\cdot (b - a)}\right]_a^b = \frac{b^2 - a^2}{2\cdot (b - a)} = \frac{(b - a)\cdot (b + a)}{2\cdot (b - a)} =\frac{b + a}{2}$

$Var(X) = \int\limits_a^b x^2\cdot \frac{1}{b - a}\,dx - \left( \frac{b + a}{2} \right)^2 = \left[ \frac{x^3}{3\cdot (b - a)} \right]_a^b - \left( \frac{b + a}{2} \right)^2 = \frac{b^3 - a^3}{3\cdot (b - a)} - \frac{b + a}{4} = \frac{(b - a)^2}{12}$

Die allgemeine Form der Dichte- und der Verteilungsfunktion einer stetigen Gleichverteilung zeigen die nachfolgenden Graphiken.

Beispiele

Straßenbahn

Eine Person kommt, ohne auf die Uhr zu sehen, zur Straßenbahn, welche im 20-Minuten-Takt fährt.

Die Zufallsvariable $X\;$ : "Wartezeit auf die nächste Straßenbahn in Minuten" kann dann jeden Wert aus dem Intervall $[0, 20]$ annehmen, Pünktlichkeit der Straßenbahn vorausgesetzt.

Damit folgt

$P(0\leq X \leq 20) = 1$ mit $a = 0$ und $b = 20$ .

Da die Person rein zufällig in einem hinreichend kleinen, gleichmöglichen Zeitintervall konstanter Länge (etwa von der Länge 30 Sekunden) an der Haltestelle eintrifft, kann die stetige Zufallsvariable $X = \{\mbox{Wartezeit}\}$ als gleichverteilt angesehen werden.

Damit ist die Dichtefunktion von $X\;$ :

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{20}\quad & \mbox{, wenn }\ 0<x\leq b \\ 0\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}$

Die Verteilungsfunktion lautet:

$F(x)=\begin{cases}0\quad & \mbox{, wenn } x<0 \\ \frac{1}{20}\cdot x\quad & \mbox{, wenn } 0\leq x\leq 20 \\ 1\quad & \mbox{, sonst}\end{cases}$

Der Erwartungswert von $X\;$ ist

$\,E[X]$	$= \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x)\,dx = \int\nolimits_0^{20} x\cdot \frac{1}{20}\,dx$
	$=\frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{2}\cdot x^2 \right]_{0}^{20} =\frac{1}{20}\cdot \left[\frac{1}{2}\cdot 20^2 - \frac{1}{2}\cdot 0^2 \right] = 10$

Falls sich die Person nicht besser orientiert, muss sie im Mittel mit einer Wartezeit von 10 Minuten rechnen.

Die Varianz ist

$\,Var(X)$	$= \int\nolimits_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2\cdot f(x)\,dx =\int\nolimits_0^{20} (x - 10)^2 \cdot \frac{1}{20}\,dx$
	$= \frac{1}{20}\cdot \int\nolimits_0^{20} (x^2 - 20x + 100)\,dx$
	$= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot x^3 - \frac{1}{2}\cdot 20\cdot x^2 + 100x \right]_{0}^{20}$
	$= \frac{1}{20}\cdot \left[ \frac{1}{3}\cdot 20^3 - \frac{1}{2}\cdot 20^3 + 100 \cdot 20\right] = 33,33$