Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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Stichprobentheorie

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Grundbegriffe

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Es seien X_{1},\ldots,X_{n} unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert E\left[X_{i}\right]=\mu und Varianz Var(X_{i})=\sigma^{2}.

Sei \epsilon>0\;. Dann gilt:

\lim_{n\rightarrow\infty}P(|\bar{x}_{n}-\mu|<\epsilon)=1

Dies lässt sich wie folgt zeigen:

Nach der Tschebyschev-Ungleichung gilt

P(|\bar{x}_{n}-\mu|<\epsilon)\geq1-\frac{\sigma^{2}(\bar{x})}{\epsilon^{2}}

bzw. nach Einsetzen von \sigma^{2}(\bar{x})=\frac{\sigma^{2}}{n}:

P(|\bar{x}_{n}-\mu|<\epsilon)\geq1-\frac{\sigma^{2}}{n\cdot \epsilon^{2}}

Für n gegen unendlich geht der zweite Term auf der rechten Seite gegen Null.

Dieses Gesetz besagt:

Mit steigendem Stichprobenumfang n konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert \bar{x} um weniger als \epsilon>0 vom Erwartungswert \mu abweicht, gegen Eins.

Wenn der Stichprobenumfang genügend groß gewählt wird, nimmt der Stichprobenmittelwert \bar{x} mit hoher Wahrscheinlichkeit Werte in einem vorgegebenen Intervall [\mu-\epsilon ;\;\mu+\epsilon] an, und zwar für jede beliebige Verteilung von X\; in der Grundgesamtheit.