Schwaches Gesetz der großen Zahlen

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Stichprobentheorie

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Grundbegriffe

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Es seien unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Varianz .

Sei . Dann gilt:

Dies lässt sich wie folgt zeigen:

Nach der Tschebyschev-Ungleichung gilt

bzw. nach Einsetzen von :

Für gegen unendlich geht der zweite Term auf der rechten Seite gegen Null.

Dieses Gesetz besagt:

Mit steigendem Stichprobenumfang konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass der Stichprobenmittelwert um weniger als vom Erwartungswert abweicht, gegen Eins.

Wenn der Stichprobenumfang genügend groß gewählt wird, nimmt der Stichprobenmittelwert mit hoher Wahrscheinlichkeit Werte in einem vorgegebenen Intervall an, und zwar für jede beliebige Verteilung von in der Grundgesamtheit.