Schätztheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p><math>\begin{align}
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\
Zeile 115: Zeile 115:
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{aligned}</math></p></li>
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p><math>\begin{align}
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\
Zeile 122: Zeile 122:
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{aligned}</math></p>
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p>
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul>
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul>



Version vom 15. Juli 2020, 14:07 Uhr

500 Haushalte

Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,

,

Absolventen der Fakultät


Antibiotikumtabletten

Grundgesamtheit: : “Wirkstoffgehalt je Tablette”;
: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

Apfelsinen

  • “Gewicht der Apfelsinen”
  • Einfache Zufallsstichprobe mit
  • Summe des Gewichts:

Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit: aus , da bekannt

Schätzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit:

Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und g bekannt; : Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang , ; ;
Schätzintervall: ; ;

Brikett



; ; ; ;

Dichotome Grundgesamtheit

;

Dioxinausstoß

: Dioxinausstoß [kg/min],
: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min],

  • Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall



?




Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.

  • symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit












Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.


aus

  • ; ; ; kg/min;

Eintagsfliegen

Lebensdauer von Eintagsfliegen, und unbekannt
(kleine Stichprobe); ; ,
Schätzintervall:

(aus t-Verteilung);

Erwartungstreue

  • einfache Zufallsstichprobe
  • unabhängig