Schätztheorie/Lösungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>
<math>
\begin{align}
\begin{align}
\left[ \overline{x} \text{ ± } t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right]  
\left[ \overline{x} \pm t_{n-1; 1-\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right]  
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\
&= \left[ 1440 \pm t_{15; 1-\alpha/2} \cdot \frac{240}{\sqrt{16}} \right] \\
&= \left[ 1440 \text{ ± } t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\
&= \left[ 1440 \pm t_{15; 1-\alpha/2} \cdot 60 \right] \\
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]
&= \left[ 1263.12; 1616.88 \right]
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>


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<ul>
<ul>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p><math>\begin{align}
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
E(\widehat{\theta}_{1}) &= E \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\
&= \frac13 \left(E(X_1)+ E(X_2)+ E(X_3)\right)=\frac13 \cdot 3\mu=\mu \\
Zeile 115: Zeile 115:
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\
&=\frac14 \left(2E(X_1)+ 2E(X_2)\right)=\frac14 \cdot 4\mu=\mu \\
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\
E(\widehat{\theta}_{3})&= E \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right)\\
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{aligned}</math></p></li>
&=\frac13 \left(2E(X_1)+ E(X_3)\right) = \frac13 \cdot 3\mu=\mu\end{align}</math></p></li>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p><math>\begin{align}
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
Var(\widehat{\theta}_{1}) &= Var \left(\frac13(X_1 + X_2 + X_3)\right) \\
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\
&= \frac19(Var(X_1)+ Var(X_2)+ Var(X_3))=\frac39\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{3}\\
Zeile 122: Zeile 122:
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\
&=\frac1{16}(4Var(X_1)+ 4Var(X_2))=\frac{8}{16} \sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{2}\\
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\
Var(\widehat{\theta}_{3}) &= Var \left(\frac13(2X_1 + X_3)\right) \\
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{aligned}</math></p>
&= \frac19(4Var(X_1)+ Var(X_3))=\frac59 \sigma^2\\\end{align}</math></p>
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul>
<p><math>Var(\widehat{\theta}_{1}) < Var(\widehat{\theta}_{2}) < Var(\widehat{\theta}_{3})</math></p></li></ul>


Zeile 214: Zeile 214:
<ul>
<ul>
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li>
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p></li>
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{aligned}
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>\begin{align}
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\
               &\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\
               &\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,975 \\
               &\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{aligned}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li>
               &\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 1,96\end{align}</math> <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]</math> <math>\left[50-1,96\frac{7}{\sqrt{49}}; 50+1,96\frac{7}{\sqrt{49}}\right]= \left[48,04; 51,96\right]</math></p></li>
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{aligned}
<li><p>Schätzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit, Breite fix, <math>n</math> variabel <math>\left[\bar{x}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]= \left[v_u; v_o\right]</math> Breite: <math>\begin{align}
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\
v_o-v_u &=& \left(50+1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)- \left(50-1,96\frac{7}{\sqrt{n}}\right)\\
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\
2\text{ km }&=& \frac{2\cdot1,96\cdot7\text{ km}}{\sqrt{n}}\\
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{aligned}</math></p></li></ul>
\sqrt{n}&=& 13,72 \Rightarrow n=188,23 \text{ also } n\geq189\\\end{align}</math></p></li></ul>
</li>
</li>
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p>
<li><p><math>Y:</math> “Anzahl der ADAC Mitglieder” <math>\sim B(200;\pi)</math></p>
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p>
<p>Approximationsbedingung: <math>\hat{\pi}=\frac{40}{200}=0,2 \Rightarrow n\pi(1-\pi)\approx 200\cdot0,2\cdot0,8=32>9</math></p>
<p><math>\begin{aligned}
<p><math>\begin{align}
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\
Y&\approx& N\left(\mu=n\pi;\sigma=\sqrt{n\pi(1-\pi)}\right)\\
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{aligned}</math></p>
\hat{\pi}=\frac{Y}{n}&\approx& N\left(\mu=\pi;\sigma=\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{n}}\right)\end{align}</math></p>
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p>
<p>'''Konfidenzintervall''' <math>P\left(\frac{Y}{n}-c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}} \leq \pi \leq \frac{Y}{n}+c\sqrt{\frac{\frac{Y}{n}\left(1-\frac{Y}{n}\right)}{n}}\right)=1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>N(0;1)</math>, da <math>\sigma</math> bekannt <math>\Longrightarrow c=z_{1-\alpha/2}</math></p>
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{aligned}
<p>'''Schätzintervall''' <math>\begin{align}
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\
1-\alpha=99\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=99,5\% \\
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\
&\Rightarrow \Phi(z_{ 1-\alpha/2})=0,995 \\
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{aligned}</math> <math>\begin{aligned}
&\Rightarrow z_{ 1-\alpha/2} = 2,58\end{align}</math> <math>\begin{align}
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\
&\left[0,2-2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}; 0,2+2,58\sqrt{\frac{0,2\cdot(1-0,2)}{200}}\right]\\
&= [0,12703; 0,27297]\end{aligned}</math></p></li>
&= [0,12703; 0,27297]\end{align}</math></p></li>
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{aligned}
<li><p><math>X_i\sim N(\mu; \sigma) \Longrightarrow \bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}}=\mu; \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n})</math> <math>\begin{align}
n&=&5\\
n&=&5\\
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\
\bar{x}&=& \frac{0,18+0,25+0,12+0,20+0,25}{5}=0,2\\
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\
s^2 %&=& \frac{(0,18-0,2)^2+(0,25-0,2)^2+(0,12-0,2)^2+(0,20-0,2)^2+(0,25-0,2)^2}{4}\\
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{aligned}</math></p>
&=& \frac{0,0004+0,0025+0,0064+0+0,0005}{4}=0,00295\\\end{align}</math></p>
<ul>
<ul>
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li>
<li><p>Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert <math>\mu</math> der Grundgesamtheit <math>P\left(\bar{X}-c\frac{S}{\sqrt{n}}\leq \mu \leq\bar{X}+c\frac{S}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha</math> <math>c</math> aus <math>t_{n-1}</math>, da <math>\sigma</math> unbekannt <math>\Longrightarrow c=t_{n-1;1-\alpha/2}</math></p></li>
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{aligned}
<li><p>Schätzintervall <math>\begin{align}
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\
1-\alpha=95\% &\Rightarrow 1-\alpha/2=97,5\% \\
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{aligned}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul>
&\Rightarrow t_{n-1;1-\alpha/2} = 2,776\end{align}</math> <math>\left[0,2-2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}; 0,2+2,776\sqrt{\frac{0,00295}{5}}\right] = [0,1326; 0,2674]</math></p></li></ul>
</li></ul>
</li></ul>


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<ul>
<ul>
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{aligned}
<li><p>Likelihood-Funktion: <math>\begin{align}
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\
L(\lambda;x_1,x_2,x_3,x_4)&=&f(x_1|\lambda)\cdot f(x_2|\lambda)\cdot f(x_3|\lambda)\cdot f(x_4|\lambda)\\
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{aligned}</math></p></li>
&=&\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^4}{4!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^6}{6!}e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{15}}{2!4!6!3!}e^{-4\lambda}\end{align}</math></p></li>
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br />
<li><p>ML-Schätzwert für <math>\lambda</math>:<br />
<br />
<br />
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<ul>
<ul>
<li><p><math>\begin{aligned}
<li><p><math>\begin{align}
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1}  + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1}  + 2 \cdot \pi_{2}\\
E(X_{i}) &=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1}  + 2 \cdot \pi_{2}=\pi_{1}  + 2 \cdot \pi_{2}\\
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{aligned}</math></p>
E(\widehat{\pi}_{1})&=&E \left(\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} (2X_i - X_i^2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2E(X_i) - E(X_i^2) \right)\end{align}</math></p>


{|class="wikitable"
{|class="wikitable"
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<p><math>\begin{aligned}
<p><math>\begin{align}
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\
\displaystyle E(X_{i}^2)&=& 0 \cdot \pi_{0}+ 1 \cdot \pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}=\pi_{1} + 4 \cdot \pi_{2}\\
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\
E(\widehat{\pi}_{1})&=&\frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \left (2(\pi_1 + 2\pi_2) - (\pi_1 + 4\pi_2) \right)= \frac1{10} \sum_{i=1}^{10} \pi_1 = \pi_1\\
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)=  \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\
E(\widehat{\pi}_{2}) &=& E \left(\frac1{20} \sum_{i=1}^{10}(X_i^2 - X_i)\right)=  \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left (E(X_i^2) - E(X_i) \right)\\
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{aligned}</math></p></li>
&=& \frac1{20} \sum_{i=1}^{10} \left((\pi_1 + 4\pi_2) - (\pi_1 + 2\pi_2) \right) =\frac1{20} \sum_{i=1}^{10} 2\pi_2=\pi_2\end{align}</math></p></li>
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p>
<li><p>Schätzfunktion: <math>\widehat{\pi}_{0} = 1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2}</math></p>
<p><math>\begin{aligned}
<p><math>\begin{align}
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\
E(\widehat{\pi}_{0}) &=& E(1 - \widehat{\pi}_{1} - \widehat{\pi}_{2})\\
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\
&=& 1 - E(\widehat{\pi}_{1}) - E(\widehat{\pi}_{2})\\
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{aligned}</math></p></li>
&=& 1 - \pi_{1} - \pi_{2} = \pi_{0}\end{align}</math></p></li>
<li><p>Stichprobe:</p>
<li><p>Stichprobe:</p>


Zeile 544: Zeile 544:
|}
|}


<p><math>\begin{aligned}
<p><math>\begin{align}
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\
\widehat{\pi}_{1} &=& \frac1{10}\sum_{i=1}^{10} (2x_i-x_i^2) = \frac{0+0+1+0+0+0+0+1+0+0}{10}=0,2\\
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\
\widehat{\pi}_{2} &=& \frac1{20}\sum_{i=1}^{10} (x_i^2-x_i) = \frac{0+2+0+0+0+2+2+0+0+2}{20}=0,4\\
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{aligned}</math></p></li></ul>
\widehat{\pi}_{0} &=& 1-0,2-0,4=0,4\\\end{align}</math></p></li></ul>


* ja, führen Sie den Beweis!
* ja, führen Sie den Beweis!

Aktuelle Version vom 15. Juli 2020, 15:36 Uhr

500 Haushalte

Haushaltsgröße , ist beliebig verteilt mit und
: Durchschnittliche Haushaltsgröße bei einer Zufallsstichprobe vom Umfang
ist approximativ (zentraler Grenzwertsatz; ) –verteilt.
, ,

,

Absolventen der Fakultät


Antibiotikumtabletten

Grundgesamtheit: : “Wirkstoffgehalt je Tablette”;
: “Durchschnittlicher Wirkstoffgehalt je Tablette bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang ”;

Apfelsinen

  • “Gewicht der Apfelsinen”
  • Einfache Zufallsstichprobe mit
  • Summe des Gewichts:

Allgemeines Konfidenzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit: aus , da bekannt

Schätzintervall für den Mittelwert der Grundgesamtheit:

Grundgesamtheit: X: Gewicht einer Apfelsine; Normalverteilung und g bekannt; : Durchschnittsgewicht einer Apfelsine in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang , ; ;
Schätzintervall: ; ;

Brikett



; ; ; ;

Dichotome Grundgesamtheit

;

Dioxinausstoß

: Dioxinausstoß [kg/min],
: Durchschnittlicher Dioxinausstoß [kg/min],

  • Berechnung der statistischen Sicherheit für ein gegebenes Schwankungsintervall



?




Mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73% liegt der Durchschnitt einer Stichprobe vom Umfang zwischen 4 und 6 kg/min Dioxinausstoß.

  • symmetrisches Schwankungsintervall gesucht bei gegebener statistischer Sicherheit












Um mit einer Sicherheit von 95% den durchschnittlichen Dioxinausstoß auf 0,5 kg/min genau schätzen zu können, benötigt man einen Stichprobenumfang von mindestens 16 Zeitintervallen.


aus

  • ; ; ; kg/min;

Eintagsfliegen

Lebensdauer von Eintagsfliegen, und unbekannt
(kleine Stichprobe); ; ,
Schätzintervall:

(aus t-Verteilung);

Erwartungstreue

  • einfache Zufallsstichprobe
  • unabhängig