Regression/Lösungen

Alter und Händlerverkaufspreis

Gegeben: $s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81$
Es ist $r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y$. Daraus folgt: $s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)$
Ferner ist: $r_{yx}=-0,9$ ($r_{yx}$ und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); $s_y=2$
$s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3$

Arbeitslosenquoten

$\sum_{t=0}^3t=6\quad\sum_{t=0}^3x_t=45,2\quad\sum_{t=0}^3tx_t=71,5;\quad\sum_{t=0}^3t^2=14$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\ &=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\ \hat{y}_i&=&10,19+0,74\cdot x_i\\ \hat{y}_4&=&10,19+0,74\cdot x_4= 10,19+0,74\cdot4=13,15\\\end{aligned}

Gesamtkosten und Produktionsmenge

$\widehat{y}_{i} = 17,253 + 4,039x_{i}$

Gewinn eines Unternehmens

$\hat{y}_i=a+bx_i$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a & = & \frac{\sum y_i\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ & = & \frac{0-55\cdot99}{10\cdot385-55^2}=-6,6\\ \\ b & = & \frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ & = & \frac{10\cdot99-0}{10\cdot385-55^2}=1,2\\\end{aligned} $\hat{y}_i=-6,6+1,2x_i$

Hypothekenzinssatz

	$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$	$y_i - \bar{y}$	$(y_i - \bar{y})^2$	$(x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})$
1	6	3000	-1	1.0	500	250000.0	-500
2	5	3200	-2	4.0	700	490000.0	-1400.0
3	7	2500	0	0.0	0	0.0	0.0
4	7	2300	0	0.0	-200	40000.0	-0.0
5	8	2000	1	1.0	-500	250000.0	-500
6	9	2000	2	4.0	-500	250000.0	-1000.0
Summe	42	15000	0	10.0	0	1280000.0	-3400
Mittel	7	2500	0	1.7	0	213333.3	-556.7

• $\displaystyle r = \frac{-3400}{\sqrt{10\cdot1280000}}= -0.9503$
• $\displaystyle b_1 = \frac{-3400}{10}= -340$, $\displaystyle b_0 = 2500-(-340)\cdot7= 4880$
  

$\displaystyle \widehat{y} =4880 -340\cdot x$

• $\displaystyle R^2= r^2 = -0.9503^2 = 0.9031$
• $\displaystyle 4880 -340\cdot 4 = 3520$ Mio EUR, $\displaystyle 4880 -340\cdot 7,5 = 2330$ Mio EUR

Immobiliensachverständiger

Objekt $i$	Alter $x_i$	Preis $y_i$	$x_iy_i$	$x_i^2$
1	15	190	2850	225
2	12	210	2520	144
3	3	400	1200	9
4	17	125	2125	289
5	5	300	1500	25
6	8	197	1576	64
$\sum$	60	1422	11771	756

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{6\cdot11771-60\cdot1422}{6\cdot756-60^2}=\frac{-14694}{936}=-15,699\\ b_0&=&\overline{y}-b_1\overline{x}=\frac{1422}{6}-(-15,699)\frac{60}{6}=393,99\\ \hat{y}_i&=&b_0+b_1x_i=393,99-15,699\cdot1=378,291 \end{aligned}

Konsumausgaben

• $\widehat{y}_{i}$ = 211,82 + 0,813$x_{i}$
• 2488,22 EUR Konsumausgaben

Konsumausgaben und verfügbares Einkommen

$\widehat{y}_{i} = 1,94 + 0,78x_{i}$

Kosten und Output

$X=\mbox{Output},\;Y=\mbox{Kosten}$
Gegeben: $s_y^2=1801,6;\;s_{yx}=67,2$
Gesucht: $b_1=s_{yx}/s_x^2$
$s_x^2=\sum x_i^2/n-\overline{x}^2=1468/10-12^2=146,8-144=2,8$
$b_1=s_{yx}/s_x^2=67,2/2,8=24$

Kunstdünger

Datei:Kunstduenger.xlsx

• ja
• $\widehat{y}_{i}$ = 19,93 + 5,0526$x_{i}$
• 75,5086 dt
• $B$ = 0,9753

Ökonomische Variablen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{10\cdot304-40\cdot70}{10\cdot180-40\cdot40}=\frac{240}{200}=1,2\\ b_0&=&\frac{\sum y_i\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_iy_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{70\cdot180-40\cdot304}{10\cdot180-40\cdot40}=\frac{440}{200}=2,2\\ b_0&=&\overline{y}-b_1\overline{x}=7-1,2\cdot4=2,2 \end{aligned}

Quadratmetermiete

	$x_i$	$y_i$	$x_i^2$	$y_i^2$	$x_i\cdot y_i$
1	40	12	1 600	144,0	480
2	40	12	1 600	144,0	480
3	40	15	1 600	225,0	600
4	60	12	3 600	144,0	720
5	80	10	6 400	100,0	800
6	80	10	6 400	100,0	800
7	90	9	8 100	81,0	810
8	90	10	8 100	100,0	900
9	90	10	8 100	100,0	900
10	90	10	8 100	100,0	900
Summe	700	110	53 600	1 238,0	7 390
Mittel	70	11	5 360	123,8	739

$\displaystyle b_1 = \frac{10\cdot 7390 - 700 \cdot 110} {10\cdot 53600- 700}^2 = -0.0674$,
$\displaystyle b_0 =\frac{ 110 }{10}- \frac{ 700}{10}\cdot -0.0674 = 15.7174$,

Querschnittsanalyse von 11 Unternehmen

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} y_i = 191$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} y_i^2 = 5183.6491$
• $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}y_i = 29829.7$,
  

$\displaystyle b_1^{(1)} = \frac{11\cdot 29829.7- 1671.9 \cdot 191} {11\cdot 259297.25-1671.9^2}=0.1542$,
$\displaystyle b_0^{(1)} =\frac{191}{11}-\frac{1671.9}{11\cdot 0.15422270096145} =-6.0768$,
$\displaystyle R^2_{y1} = \frac{(11\cdot 29829.7- 1671.9\cdot 191)^2} {(11\cdot 259297.25- 1671.9^2)\cdot(11\cdot 3446.92-191^2)}= 0.9450$,
$\displaystyle\hat{y}_1 = -6.0768 + 0.1542 x_1$

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}y_i = 21344.04$,
  

$\displaystyle b_1^{(2)} = \frac{11\cdot 21344.04- 1197.4\cdot 191}{11\cdot 132804.82}-1197.4^2= 0.2245$,
$\displaystyle b_0^{(2)} =\frac{ 191}{11}-\frac{1197.4}{11\cdot 0.2245} = -7.0749$,
$\displaystyle R^2_{y2} = \frac{(11\cdot 21344.04- 1197.4\cdot 191)^2} {(11\cdot 132804.82- 1197.4^2)\cdot(11\cdot 3446.92- 191^2)}= 0.9513$,
$\displaystyle\hat{y}21 = -7.0749 + 0.2245 x_2$

• $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} = 29.2$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 = 88.44$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}y_i = 519.52$,
  

$\displaystyle b_1^{(3)} = \frac{11\cdot 519.52 - 29.2 \cdot 191} {11\cdot 88.44} - 29.2 ^2 = 1.1441$,
$\displaystyle b_0^{(3)} =\frac{ 191}{11}-\frac{29.2}{11\cdot1.1441} = 14.3266$,
$\displaystyle R^2_{y3} = \frac{(11\cdot 519.52- 29.2 \cdot 191)^2} {(11\cdot 88.44- 29.2^2)\cdot(11\cdot 3446.92- 191^2)}= 0.1096$,
$\displaystyle\hat{y}_3 = 14.3266 + 1.1441 x_3$

• $r_{y1} = \sqrt{R^2_{y1}} = 0.9721$; $r_{y2} = \sqrt{R^2_{y2}} = 0.9753$; $r_{y3} = \sqrt{R^2_{y3}} = 0.3311$;
• $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25$,
  

$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82$,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}x_{i2} = 185557.02$,
$\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 185557.02-1671.9 \cdot 1197.4}{\sqrt{(11\cdot 259297.25-1671.9^2)\cdot(11\cdot 132804.82-1197.4^2)}}$
$\displaystyle r_{12} = 0.9973$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25$,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} = 29.2$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 = 88.44$,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}x_{i3} = 4478.28$,
$\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 4478.28-1671.9\cdot 29.2}{\sqrt{(11\cdot 259297.25-1671.9^2)\cdot(11\cdot 88.44-29.2^2)}}$
$\displaystyle r_{12} = 0.16868$
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82$,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} = 29.2$, $\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 = 88.44$,
$\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}x_{i3} = 3203.89$,
$\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 3203.89- 1197.4 \cdot 29.2}{\sqrt{(11\cdot 132804.82-1197.4^2)\cdot(11\cdot 88.44-29.2^2)}}$
$\displaystyle r_{12} = 0.1545$

Umsatz und Werbeetat

Schätzung des Parameters $b_1$ in der linearen Regressionsfunktion $\hat{y}_i=b_0+b_1x_i$.

Filiale	1	2	3	4	5	6	$\sum$
$y_i:\mbox{Umsatz (1000 EUR)}$	20	16	18	17	12	13	96
$x_i:\mbox{Werbeetat (100 EUR)}$	29	25	28	26	20	22	150
$x_i^2$	841	625	784	676	400	484	3810
$x_iy_i$	580	400	504	442	240	286	2452

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ &=&\frac{6\cdot2452-150\cdot96}{6\cdot3810-150^2}=\frac{14712-14400}{22860-22500}=\frac{312}{360}=0,866666\\ &=&0,867\end{aligned}

Zusätzliche statistische Einheit

Lösung g)
$b_1=(10\cdot304-40\cdot70)/(10\cdot180-40^2)=240/200=1,2$
$b_0=(70\cdot180-40\cdot304)/10\cdot180-40^2)=440/200=2,2$