Regression/Lösungen

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Version vom 25. Juni 2019, 07:48 Uhr von Siskosth (Diskussion | Beiträge) (Querschnittsanalyse von 11 Unternehmen)
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Alter und Händlerverkaufspreis

Gegeben: s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81
Es ist r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y. Daraus folgt: s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)
Ferner ist: r_{yx}=-0,9 (r_{yx} und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); s_y=2
s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3

Arbeitslosenquoten

\sum_{t=0}^3t=6\quad\sum_{t=0}^3x_t=45,2\quad\sum_{t=0}^3tx_t=71,5;\quad\sum_{t=0}^3t^2=14 Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b&=&\frac{(T+1)\sum tx_t-\sum x_t\sum t}{(T+1)\sum t^2-(\sum t)^2}\\ &=&\frac{4\cdot71,5-45,2\cdot6}{4\cdot14-6^2}=\frac{286-271,2}{56-36}=\frac{14,8}{20}=0,74\\ a&=&\frac{\sum x_t}{T+1}-b\frac{\sum t}{T+1}=\frac{45,2}{4}-0,74\cdot\frac{6}{4}=11,3-1,11=10,19\\ \hat{y}_i&=&10,19+0,74\cdot x_i\\ \hat{y}_4&=&10,19+0,74\cdot x_4= 10,19+0,74\cdot4=13,15\\\end{aligned}

Gesamtkosten und Produktionsmenge

\widehat{y}_{i} = 17,253 + 4,039x_{i}

Gewinn eines Unternehmens

\hat{y}_i=a+bx_i Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} a & = & \frac{\sum y_i\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ & = & \frac{0-55\cdot99}{10\cdot385-55^2}=-6,6\\ \\ b & = & \frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ & = & \frac{10\cdot99-0}{10\cdot385-55^2}=1,2\\\end{aligned} \hat{y}_i=-6,6+1,2x_i

Hypothekenzinssatz

 x_i  y_i  x_i - \bar{x}  (x_i - \bar{x})^2  y_i - \bar{y}  (y_i - \bar{y})^2  (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y})
1 6 3000 -1 1.0 500 250000.0 -500
2 5 3200 -2 4.0 700 490000.0 -1400.0
3 7 2500 0 0.0 0 0.0 0.0
4 7 2300 0 0.0 -200 40000.0 -0.0
5 8 2000 1 1.0 -500 250000.0 -500
6 9 2000 2 4.0 -500 250000.0 -1000.0
Summe 42 15000 0 10.0 0 1280000.0 -3400
Mittel 7 2500 0 1.7 0 213333.3 -556.7
  • \displaystyle r = \frac{-3400}{\sqrt{10\cdot1280000}}= -0.9503
  • \displaystyle b_1 = \frac{-3400}{10}=
 -340, \displaystyle b_0 = 2500-(-340)\cdot7=  4880

\displaystyle \widehat{y} =4880 -340\cdot x

  • \displaystyle R^2= r^2 = -0.9503^2 = 0.9031
  • \displaystyle 4880 -340\cdot 4 = 3520 Mio EUR, \displaystyle 4880 -340\cdot 7,5 = 2330 Mio EUR

Immobiliensachverständiger

Objekt i Alter x_i Preis y_i x_iy_i x_i^2
1 15 190 2850 225
2 12 210 2520 144
3 3 400 1200 9
4 17 125 2125 289
5 5 300 1500 25
6 8 197 1576 64
\sum 60 1422 11771 756

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{6\cdot11771-60\cdot1422}{6\cdot756-60^2}=\frac{-14694}{936}=-15,699\\ b_0&=&\overline{y}-b_1\overline{x}=\frac{1422}{6}-(-15,699)\frac{60}{6}=393,99\\ \hat{y}_i&=&b_0+b_1x_i=393,99-15,699\cdot1=378,291 \end{aligned}

Konsumausgaben

  • \widehat{y}_{i} = 211,82 + 0,813x_{i}
  • 2488,22 EUR Konsumausgaben

Konsumausgaben und verfügbares Einkommen

\widehat{y}_{i} = 1,94 + 0,78x_{i}

Kosten und Output

X=\mbox{Output},\;Y=\mbox{Kosten}
Gegeben: s_y^2=1801,6;\;s_{yx}=67,2
Gesucht: b_1=s_{yx}/s_x^2
s_x^2=\sum x_i^2/n-\overline{x}^2=1468/10-12^2=146,8-144=2,8
b_1=s_{yx}/s_x^2=67,2/2,8=24

Kunstdünger

Datei:Kunstduenger.xlsx

  • ja
  • \widehat{y}_{i} = 19,93 + 5,0526x_{i}
  • 75,5086 dt
  • B = 0,9753

Ökonomische Variablen

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{10\cdot304-40\cdot70}{10\cdot180-40\cdot40}=\frac{240}{200}=1,2\\ b_0&=&\frac{\sum y_i\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_iy_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}=\frac{70\cdot180-40\cdot304}{10\cdot180-40\cdot40}=\frac{440}{200}=2,2\\ b_0&=&\overline{y}-b_1\overline{x}=7-1,2\cdot4=2,2 \end{aligned}

Quadratmetermiete

x_i y_i x_i^2 y_i^2 x_i\cdot y_i
1 40 12 1 600 144,0 480
2 40 12 1 600 144,0 480
3 40 15 1 600 225,0 600
4 60 12 3 600 144,0 720
5 80 10 6 400 100,0 800
6 80 10 6 400 100,0 800
7 90 9 8 100 81,0 810
8 90 10 8 100 100,0 900
9 90 10 8 100 100,0 900
10 90 10 8 100 100,0 900
Summe 700 110 53 600 1 238,0 7 390
Mittel 70 11 5 360 123,8 739

\displaystyle b_1 = 
\frac{10\cdot 7390 - 700 \cdot 110}
{10\cdot 53600- 700}^2 = -0.0674 ,
\displaystyle b_0 =\frac{ 110 }{10}-
\frac{ 700}{10}\cdot -0.0674
= 15.7174,

Querschnittsanalyse von 11 Unternehmen

Datei:Querschnittsanalyse

  • \displaystyle\sum_{i=1}^{11} y_i =    191, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} y_i^2 =  5183.6491
  • \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}y_i = 29829.7,

\displaystyle b_1^{(1)} = 
\frac{11\cdot 29829.7- 1671.9 \cdot 191}
     {11\cdot 259297.25-1671.9^2}=0.1542 ,
\displaystyle b_0^{(1)} =\frac{191}{11}-\frac{1671.9}{11\cdot 0.15422270096145}
=-6.0768 ,
\displaystyle R^2_{y1} = 
\frac{(11\cdot 29829.7- 1671.9\cdot 191)^2}
     {(11\cdot 259297.25- 1671.9^2)\cdot(11\cdot 3446.92-191^2)}= 0.9450,
\displaystyle\hat{y}_1 = -6.0768 + 0.1542 x_1

  • \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}y_i = 21344.04,

\displaystyle b_1^{(2)} = \frac{11\cdot 21344.04- 1197.4\cdot 191}{11\cdot 132804.82}-1197.4^2= 0.2245,
\displaystyle b_0^{(2)} =\frac{ 191}{11}-\frac{1197.4}{11\cdot 0.2245}
= -7.0749,
\displaystyle R^2_{y2} = 
\frac{(11\cdot 21344.04- 1197.4\cdot 191)^2}
{(11\cdot  132804.82- 1197.4^2)\cdot(11\cdot 3446.92- 191^2)}= 0.9513,
\displaystyle\hat{y}21 = -7.0749 + 0.2245 x_2

  • \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} =  29.2, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 =  88.44 , \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}y_i = 519.52,

\displaystyle b_1^{(3)} = 
\frac{11\cdot 519.52 - 29.2 \cdot 191}
{11\cdot 88.44} - 29.2 ^2 = 1.1441 ,
\displaystyle b_0^{(3)} =\frac{ 191}{11}-\frac{29.2}{11\cdot1.1441}
= 14.3266 ,
\displaystyle R^2_{y3} = 
\frac{(11\cdot 519.52- 29.2 \cdot 191)^2}
{(11\cdot 88.44- 29.2^2)\cdot(11\cdot 3446.92- 191^2)}= 0.1096,
\displaystyle\hat{y}_3 = 14.3266 + 1.1441 x_3

  • r_{y1} = \sqrt{R^2_{y1}} = 0.9721; r_{y2} = \sqrt{R^2_{y2}} =  0.9753 ; r_{y3} = \sqrt{R^2_{y3}} = 0.3311;
  • \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25,

\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82,
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}x_{i2} = 185557.02,
\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 185557.02-1671.9 \cdot 1197.4}{\sqrt{(11\cdot 259297.25-1671.9^2)\cdot(11\cdot 132804.82-1197.4^2)}}
\displaystyle r_{12} = 0.9973
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1} = 1671.9, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}^2 = 259297.25,
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} = 29.2, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 = 88.44,
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i1}x_{i3} = 4478.28,
\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 4478.28-1671.9\cdot 29.2}{\sqrt{(11\cdot 259297.25-1671.9^2)\cdot(11\cdot 88.44-29.2^2)}}
\displaystyle r_{12} = 0.16868
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2} = 1197.4, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}^2 = 132804.82,
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3} = 29.2, \displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i3}^2 = 88.44 ,
\displaystyle\sum_{i=1}^{11} x_{i2}x_{i3} = 3203.89,
\displaystyle r_{12} = \frac{11\cdot 3203.89- 1197.4 \cdot 29.2}{\sqrt{(11\cdot 132804.82-1197.4^2)\cdot(11\cdot 88.44-29.2^2)}}
\displaystyle r_{12} = 0.1545

Umsatz und Werbeetat

Schätzung des Parameters b_1 in der linearen Regressionsfunktion \hat{y}_i=b_0+b_1x_i.

Filiale 1 2 3 4 5 6 \sum
y_i:\mbox{Umsatz (1000 EUR)} 20 16 18 17 12 13 96
x_i:\mbox{Werbeetat (100 EUR)} 29 25 28 26 20 22 150
x_i^2 841 625 784 676 400 484 3810
x_iy_i 580 400 504 442 240 286 2452

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} b_1&=&\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-\sum x_i\sum x_i}\\ &=&\frac{6\cdot2452-150\cdot96}{6\cdot3810-150^2}=\frac{14712-14400}{22860-22500}=\frac{312}{360}=0,866666\\ &=&0,867\end{aligned}

Zusätzliche statistische Einheit

Lösung g)
b_1=(10\cdot304-40\cdot70)/(10\cdot180-40^2)=240/200=1,2
b_0=(70\cdot180-40\cdot304)/10\cdot180-40^2)=440/200=2,2