Periodische Schwankungen

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Grundbegriffe

Periodische Schwankung, Saisonschwankung bzw. Saisonkomponente

Bisher wurde aus der Originalzeitreihe nur ein Trend ermittelt. Dabei fanden Informationen über saisonale Erscheinungen Beachtung in der Wahl eines geeigneten Filters.

Nun sollen auch die Saisonschwankungen (Saisonkomponenten) berechnet werden. Einige nützliche Definitionen vorab erleichtern das Verständnis:

  • Perioden: p_{i},\; i=1,\ldots,\; P
Anzahl der Wiederholungen einer Saison
Beispiel: Quartalsdaten über 10 Jahre: P = 10
  • Unterzeiträume k_{j},\; j=1,\ldots,\;k
Anzahl der Perioden in einem Zyklus
Beispiel: Quartalsdaten: k = 4
  • Anzahl der Zeiträume: T=k\cdot P
  • Trendwerte: \widehat{x}_{i,j}
  • Beobachtungswerte: x_{i,j}
  • Schwankungskomponente: s_{i,j}

Man unterscheidet zwischen additiven und multiplikativen Zeitreihenmodellen:

Bei ersteren wird ein additiver und bei letzeren ein multiplikativer Zusammenhang zwischen Trend, Saisonkomponente und Residuen unterstellt. Entsprechend unterscheidet sich die Berechnung der Saisonkomponente:

Additives Zeitreihenmodell

s_{i,j}=x_{i,j}-\widehat{x}_{i,j};\quad \bar{s_{j}}=\frac{1}{P}\cdot \sum\limits_{i=1}^{P}s_{i,j}
\widehat{x}_{i,j}^{ZRM}=\widehat{x}_{i,j}+\bar{s_{j}} für i=1,\ldots ,P\;\; j=1,\ldots, k

Der prognostizierte Wert der Variablen X\; aufgrund des Zeitreihenmodells (ZRM) setzt sich additiv aus dem Trendwert \widehat{x}_{i,j} und dem mittleren Saisonkoeffizienten \bar{s_{j}} zusammen.

Multiplikatives Zeitreihenmodell

s_{i,j}=\frac{x_{i,j}}{\widehat{x}_{i,j}},\qquad \bar{s_{j}}=\frac{1}{P}\sum\limits_{i=1}^{P}s_{i,j}

\widehat{x}_{i,j}^{ZRM}=\widehat{x}_{i,j}\cdot \bar{s_{j}} für i=1,\ldots, P\quad j=1,\ldots,k

Der prognostizierte Wert der Variablen X\; aufgrund des Zeitreihenmodells (ZRM) setzt sich multiplikativ aus dem Trendwert \widehat{x}_{i,j} und dem mittleren Saisonkoeffizienten \bar{s_{j}} zusammen.

Beispiele

PKW Zulassungen (Additives Zeitreihenmodell)

Zulassungszahl neuer PKW in Berlin - 1. Quartal 1977 - 4. Quartal 1989

Additives Zeitreihenmodell:

Filter: \left[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right]

rot = Originalzeitreihe

schwarz = geglättete Reihe (Trend)

blau = Trend und Saisonkomponente

j\; Summe \bar{s_{j}}\; P\;
1 2,934 0,244 12
2 30,424 2,535 12
3 -17,434 -1,453 12
4 -16,120 -1,343 12
<R output="display">

pdf(rpdf, width=10, height=7)

a = c(15222, 17456, 12988, 13833, 15407, 19110, 13479, 13139, 16407, 18738, 11923, 11853, 15869, 16109, 12883, 11712, 14495, 15373, 10341, 11111, 12985, 13397, 9474, 10043, 13431, 15968, 11246, 11261, 14908, 14581, 10498, 10657, 11078, 14858, 11473, 12384, 13801, 17143, 14249, 14712, 12603, 16799, 15611, 15568, 13077, 17098, 14159, 13085, 14093, 16344, 12044, 13762) t = ts(a, start=c(1977,1), end=c(1989,4), fr=4) plot(t, ylim=c(8000,20000), xlab="Zeit", ylab="Zulassungszahl neuer Pkw (Tsd.)", col="red", lwd=2, axes=F) axis(1, at=seq(1977.1, 1989.4, by=1.0), label=seq(77.1, 89.4, by=1.0), lwd=2, tck=-0.02) axis(2, at=seq(8000, 20000, by=2000), label=seq(8, 20, by=2), las=2, lwd=2, tck=-0.02) lines(decompose(t)$trend, lwd=2) lines(decompose(t)$trend+decompose(t)$seasonal, lwd=2, col="blue")

</R>

Pkw-Zulassungen

Dieses Beispiel soll zeigen, wie man eine saisonale Zeitreihe x(t) additiv in einen Trend T(t), eine Saisonschwankung S(t) und Residuen e(t) zerlegt.

Unterstellt wird also ein geschätztes Modell in der Form

x(t)= T(t)+S(t)+e(t).

Als Beispiel dienen Quartalsdaten über Pkw-Zulassungen in Berlin.

Trend

Zwei verschiedene Verfahren zur Trendschätzung wurden oben eingeführt: Die Methode der kleinsten Quadrate und die Methode der gleitenden Durchschnitte.

Hier soll letztere zur Anwendung kommen, bei der der Trend nach der Formel

T(t)=\sum_{i=-a}^{b}\lambda _{i}\cdot x_{t+i} mit \sum_{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1

ermittelt wird.

Damit die geglättete Reihe keine Saisonschwankungen mehr enthält, verwendet man bei Quartalsdaten den Filter \left[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right].

Er sichert sowohl eine gleichmäßige Berücksichtigung von Vergangenheits- und Zukunftsdaten (a = b) als auch die gleiche Gewichtung aller Saisonarten (jeweils mit \frac{1}{4}).

Beispiel:

T(3) = \frac{1}{8} \cdot x(1) + \frac{1}{4} \cdot x(2) + \frac{1}{4} \cdot x(3) + \frac{1}{4} \cdot x(4) + \frac{1}{8} \cdot x(5)

Saisonschwankung

Aus dem Modell

x(t) = T(t) + S(t) + e(t)

ergibt sich

x(t) - T(t) = S(t) + e(t).

Die linke Seite dieser Gleichung ist nach der Trendschätzung bekannt.

Unter der Annahme, dass die Saisonschwankung in den jeweiligen Quartalen denselben Wert hat (also z.B.: S(3) = S(7) =\ldots=S(51)), ist ein naheliegendes Verfahren zur Saisonbestimmung die Bildung des arithmetischen Mittels über alle Differenzen x(t) - T(t), die zu einer Saison gehören.

Beispiel:

S(3) = S(7) = \ldots = S(51) = \frac{(x(3) - T(3)) + (x(7) - T(7)) + \ldots + (x(51)
- T(51))}{12}

Für dieses Vorgehen ist es unerheblich, mit welcher Methode der Trend geschätzt wurde.

Residuen

Die geschätzten Residuen berechnet man mit e(t)=x(t)-T(t)-S(t).

Ergebnisse der Zerlegung der Zeitreihe

Sie sollten anhand der Rechenergebnisse zu mindestens einer Periode überprüfen, ob Sie das oben beschriebene Verfahren nachvollziehen können.

Quartal \,t \,x(t) \,T(t) \,x(t)-T(t) \,S(t) \,e(t)
1977.1 1 15222
1977.2 2 17456
1977.3 3 12988 14897,9 -1909,9 -1452,8 -457,1
1977.4 4 13833 15127,8 -1294,8 -1343,3 48,5
1978.1 5 15407 15395,9 11,1 244,5 -233,4
1978.2 6 19110 15370,5 3739,5 2535,4 1204,1
1978.3 7 13479 15408,8 -1929,8 -1452,8 -477
1978.4 8 13139 15487,3 -2348,3 -1343,3 -1005
1979.1 9 16407 15246,3 1160,7 244,5 916,2
1979.2 10 18738 14891 3847 2535,4 1311,6
1979.3 11 11923 14663 -2740 -1452,8 -1287,2
1979.4 12 11853 14267,1 -2414,1 -1343,3 -1070,8
1980.1 13 15869 14058,5 1810,5 244,5 1566
1980.2 14 16109 14160,9 1948,1 2535,4 -587,3
1980.3 15 12883 13971,5 -1088,5 -1452,8 364,3
1980.4 16 11712 13707,8 -1995,8 -1343,3 -652,5
1981.1 17 14495 13298 1197 244,5 952,5
1981.2 18 15373 12905,1 2467,9 2535,4 -67,5
1981.3 19 10341 12641,3 -2300,3 -1452,8 -847,5
1981.4 20 11111 12205,5 -1094,5 -1343,3 248,8
1982.1 21 12985 11850,1 1134,9 244,5 890,4
1982.2 22 13397 11608,3 1788,7 2535,4 -746,7
1982.3 23 9474 11530,5 -2056,5 -1452,8 -603,7
1982.4 24 10043 11907,6 -1864,6 -1343,3 -521,3
1983.1 25 13431 12450,5 980,5 244,5 736
1983.2 26 15968 12824,3 3143,7 2535,4 608,3
1983.3 27 11246 13161,1 -1915,1 -1452,8 -462,3
1983.4 28 11261 13172,4 -1911,4 -1343,3 -568,1
1984.1 29 14908 12905,5 2002,5 244,5 1758
1984.2 30 14581 12736,5 1844,5 2535,4 -690,9
1984.3 31 10498 12182,3 -1684,3 -1452,8 -231,5
1984.4 32 10657 11738,1 -1081,1 -1343,3 262,2
1985.1 33 11078 11894,6 -816,6 244,5 -1061,1
1985.2 34 14858 12232,4 2625,6 2535,4 90,2
1985.3 35 11473 12788,6 -1315,6 -1452,8 137,2
1985.4 36 12384 13414,6 -1030,6 -1343,3 312,7
1986.1 37 13801 14047,3 -246,3 244,5 -490,8
1986.2 38 17143 14685,3 2457,7 2535,4 -77,7
1986.3 39 14249 14826,5 -577,5 -1452,8 875,3
1986.4 40 14712 14633,8 78,2 -1343,3 1421,5
1987.1 41 12603 14761 -2158 244,5 -2402,5
1987.2 42 16799 15038,3 1760,7 2535,4 -774,7
1987.3 43 15611 15204,5 406,5 -1452,8 1859,3
1987.4 44 15568 15301,1 266,9 -1343,3 1610,2
1988.1 45 13077 15157 -2080 244,5 -2324,5
1988.2 46 17098 14665,1 2432,9 2535,4 -102,5
1988.3 47 14159 14481,8 -322,8 -1452,8 1130
1988.4 48 13085 14514,5 -1429,5 -1343,3 -86,2
1989.1 49 14093 14155,9 -62,9 244,5 -307,4
1989.2 50 16344 13976,1 2367,9 2535,4 -167,5
1989.3 51 12044
1989.4 52 13762

Schließlich soll das Resultat der Zerlegung grafisch veranschaulicht werden. Beachten Sie, dass die geschätzte Trendreihe T(t) tatsächlich keine Saisonschwankungen mehr enthält.

Dies bestätigt die Wahl des Filters \left[\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right] zur Glättung einer Zeitreihe mit Quartalsdaten.

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a = c(15222, 17456, 12988, 13833, 15407, 19110, 13479, 13139, 16407, 18738, 11923, 11853, 15869, 16109, 12883, 11712, 14495, 15373, 10341, 11111, 12985, 13397, 9474, 10043, 13431, 15968, 11246, 11261, 14908, 14581, 10498, 10657, 11078, 14858, 11473, 12384, 13801, 17143, 14249, 14712, 12603, 16799, 15611, 15568, 13077, 17098, 14159, 13085, 14093, 16344, 12044, 13762) t = ts(a, start=c(1977,1), end=c(1989,4), fr=4) plot(t, xlab="Period", ylab="amount of cars*E3", type="l", ylim=c(-5000, 20000), lwd=2, yaxt="n") axis(2, at=seq(-5000, 20000, by=5000), label=seq(-5, 20, by=5)) lines(decompose(t)$trend, col="green", lwd=2) lines(decompose(t)$seasonal, col="blue", lwd=2) lines(decompose(t)$random, col="red", lwd=2)

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