Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch): Unterschied zwischen den Versionen
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Aktuelle Version vom 7. April 2019, 16:03 Uhr
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Inhaltsverzeichnis
Grundbegriffe
Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen , symbolisiert mit
oder
, ist das stochastische Pendant zum arithmetischen Mittel einer empirischen Häufigkeitsverteilung.
Er ist derjenige Wert der Zufallsvariablen, dessen Eintreffen vor der Durchführung des Zufallsexperimentes im Mittel zu erwarten ist.
Wenn das Zufallsexperiment sehr oft wiederholt wird, ist der Wert, der bei einer großen Zahl von
-Werten als Durchschnitt zu "erwarten" ist.
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable
Sei eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationen
und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion
.
Dann ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von
gegeben durch
Seien und
zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen
und der zugehörigen zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion
.
Dann sind die Erwartungswerte der Randverteilungen von und
gegeben durch
Seien und
zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen
und den zugehörigen bedingten Verteilungen
und
.
Dann sind die Erwartungswerte der bedingten Verteilungen von und
gegeben durch
Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable
Sei eine stetige Zufallsvariable mit den Realisationen
und der zugehörigen Dichtefunktion
.
Dann ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von
gegeben durch
Seien und
zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen
und der zugehörigen zweidimensionalen Dichtefunktion
.
Dann sind die Erwartungswerte der Randverteilungen von und
gegeben durch
Seien und
zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen
und den zugehörigen bedingten Verteilungen
und
.
Dann sind die Erwartungswerte der bedingten Verteilungen von und
gegeben durch
Varianz
Die Varianz, symbolisiert mit oder
, ist im allgemeinen als Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert definiert:
Varianz einer diskreten Zufallsvariable
Sei eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationen
und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion
.
Dann ist die Varianz der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von
gegeben durch
Seien und
zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen
und der zugehörigen zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion
.
Dann sind die Varianzen der Randverteilungen von und
gegeben durch
Seien und
zwei diskrete Zufallsvariablen mit den Realisationen
und den zugehörigen bedingten Verteilungen
und
.
Dann sind die Varianzen der bedingten Verteilungen von und
gegeben durch
Varianz einer stetigen Zufallsvariable
Sei eine stetige Zufallsvariable mit den Realisationen
und der zugehörigen Dichtefunktion
.
Dann ist die Varianz der Zufallsvariablen bzw. der Verteilung von
gegeben durch
Seien und
zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen
und der zugehörigen zweidimensionalen Dichtefunktion
.
Dann sind die Varianzen der Randverteilungen von und
gegeben durch
Seien und
zwei stetige Zufallsvariablen mit den Realisationen
und den zugehörigen bedingten Verteilungen
und
.
Dann sind die Varianzen der bedingten Verteilungen von und
gegeben durch
Standardabweichung
Als Standardabweichung wird die Wurzel aus der Varianz bezeichnet, also
.
Sie ist ein Parameter, der die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von beschreibt.
Ein großer Wert der Standardabweichung weist darauf hin, dass die Zufallsvariable Werte in einem großen Bereich um den Erwartungswert annehmen kann.
Ein kleiner Wert der Standardabweichung bedeutet, dass die Werte von hauptsächlich nahe am Erwartungswert liegen.
Standardisierung
Vielfach erweist sich eine Transformation, durch die sowohl eine Zentrierung als auch eine Normierung erreicht wird, als günstig.
Eine derart standardisierte Zufallsvariable ist definiert durch
Sie hat den Erwartungswert und die Varianz
.
Tschebyschev-Ungleichung
Die Tschebyschev-Ungleichung gibt eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert innerhalb bzw. außerhalb eines zentralen Bereiches um den Erwartungswert annimmt.
Dafür ist nur die Kenntnis des Erwartungswertes und der Varianz von , jedoch nicht die Kenntnis der Verteilung von
erforderlich.
Ausgegangen wird von einem zentralen Schwankungsintervall um :
Definition:
Für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert
und Varianz
gilt bei beliebigem
Für , folgt
Für das Komplementärereignis, dass die Zufallsvariable einen Wert außerhalb des k-fachen zentralen Schwankungsintervalls
annimmt, gilt gemäß den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
bzw. für
Die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und
hängen von der konkreten Verteilung von
ab.
Zusatzinformationen
Erwartungswert von Linearkombinationen
Seien und
zwei Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten
und
beliebig. Dann
gilt
- für
- für
- für
als unabhängige Zufallsvariablen
Varianz von Linearkombinationen
Seien und
zwei Zufallsvariablen mit den Varianzen
und
beliebige reelle Zahlen. Dann gilt:
- für
- für
als unabhängige Zufallsvariable und
Linearkombinationen von Zufallsvariablen
Erwartungswerte und Varianzen von Linearkombinationen von Zufallsvariablen
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