Normalverteilung

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Verteilungsmodelle

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Grundbegriffe

Normalverteilung oder Gauß-Verteilung

Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern \mu und \sigma, abgekürzt X\sim N(\mu,\sigma)\,, wenn ihre Dichtefunktion gegeben ist durch:

f_{NV}(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad \mbox{, wenn } -\infty<x<+\infty ,\ \sigma >0

die Verteilungsfunktion ist gegeben durch:

F_{NV}(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\int\limits_{-\infty }^{x}e^{-(t-\mu)^{2}/2\sigma ^{2}}\;dt

Aus der Dichtefunktion bzw. der Verteilungsfunktion ist erkennbar, dass die Normalverteilung von den beiden Parametern \mu und \sigma abhängt.

Diese Parameter sind der Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen X.

Die Normalverteilung wird auch als Gauß-Verteilung bezeichnet.

Sie ist die wichtigste stetige Verteilung, weil

  • bei vielen praktischen Anwendungen zumindest näherungsweise die Verteilungsgestalt einer Normalverteilung vorliegt;
  • sie eine approximative Bestimmung vieler anderer Verteilungen ermöglicht;
  • sie bei einer Vielzahl von statistischen Maßzahlen als Verteilungsmodell unterstellt werden kann, wenn der Datensatz groß genug ist.

Eine normalverteilte Zufallsvariable kann theoretisch alle Werte zwischen -\infty und +\infty annehmen, d.h. ihr Wertebereich ist nach oben und unten unbegrenzt.

Gauß'sche Glockenkurve

Die Dichtefunktion einer Gauß-Verteilung wird auch als Gauß'sche Glockenkurve bezeichnet. Sie ist gegeben durch:

f_{NV}(x;\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\quad \mbox{, wenn } -\infty<x<+\infty ,\ \sigma >0

Zusatzinformationen

Lineare Transformation

Sei X normalverteilt, X\sim N\,(\mu ,\sigma ) und Y die durch eine Linearkombination erhaltene Zufallsvariable Y = a + b\cdot X mit b\neq 0, dann ist Y wieder normalverteilt mit Y \sim N(a + b \mu,\;|b| \cdot \sigma)

Durch die Linearkombination ändert sich der Verteilungstyp nicht.

Die Werte der Parameter der transformierten Variablen ergeben sich dabei aus den Rechenregeln für den Erwartungswert und die Varianz:

E[a + b\cdot X] = a + b \cdot E[X]

Var(a + b\cdot X) = b^2\cdot Var(X) = b^2\cdot {\sigma}^2.

Reproduktivitätseigenschaft

Gegeben seien n Zufallsvariablen X_1,X_2 \ldots,X_n die identisch normalverteilt sind: X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i),\; E[X_i] = \mu_i,\; Var(X_i) = \sigma_i^2.

Die Summe unabhängiger, normalverteilter Zufallsvariablen X_1, \ldots, X_n, d.h.

Y = a_1X_1 + a_2X_2 + \ldots + a_nX_n mit a_i \neq 0 für mindestens ein i, ist wieder normalverteilt:

Y = \sum\limits_{i=1}^na_iX_i \sim N\left(\sum\limits_{i=1}^na_i\mu_i, \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2}\right)

Graphische Darstellung der Normalverteilung

Die folgende Grafik zeigt 5 Dichtefunktionen der Normalverteilung mit verschiedenen Parameterwerten für \mu und \sigma.

Der Parameter \mu beeinflusst die Lage der Verteilung über der Abszisse.

Durch Veränderung von \mu verschiebt sich die komplette Kurve ohne Veränderung ihrer Gestalt.

Durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung des Parameters \sigma wird die Dichtefunktion auseinandergezogen bzw. zusammengedrückt, gleichzeitig sinkt bzw. steigt das Maximum.

Je größer \sigma ist, desto flacher und breiter ist die Kurve, je kleiner \sigma desto schmaler und höher ist die Kurve.

Die nachfolgenden Abbildungen zeigen gesondert die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der N(2;1).


Weitere Eigenschaften der Normalverteilung

Die folgende Grafik zeigt diese Eigenschaften für die N(2;1).