Multiplikationssatz

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Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Grundbegriffe

Multiplikationssatz

Durch Umstellung der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für den Durchschnitt von Ereignissen berechnen.

Für zwei Ereignisse A und B ist das die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintritt:

 P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)

bzw. für drei Ereignisse  A_{1},\; A_{2} und \,A_{3}:

 P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3} |A_{1}\cap A_{2})

oder für die Ereignisse A_{1},\ldots, A_{n}:

 P(A_{1}\cap\ldots\cap A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2}|A_{1})\cdot P(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})\cdot\ldots\cdot P(A_{n}|A_{1}\cap\ldots\cap A_{n-1})

Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Die bei unabhängigen Ereignissen gültige Beziehung  P( A\cap B ) = P(A)\cdot P(B) heißt Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit bzw. Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.

Die Multiplikationsregel kann für den Fall von n Ereignissen verallgemeinert werden:

Seien  A_{1},A_{2},\ldots,A_{n} die Ereignisse eines Ereignisraumes  S mit positiven Wahrscheinlichkeiten. Dann gilt für jede Auswahl A_{i1},\ldots,A_{im} mit  m \leq n :

 P\left(  A_{i_{1}}\cap\ldots\cap A_{i_{m}}\right)  =P\left(A_{i_{1}}\right)\cdot P\left(  A_{i_{2}}\right)\cdot\ldots\cdot P\left(  A_{i_{m}}\right)

Zusatzinformationen

Herleitung des Multiplikationssatzes bei Unabhängigkeit

Zu zeigen ist: Bei Unabhängigkeit gilt  P( A \cap B ) = P( A ) \cdot P( B )

Der Beweis verwendet die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

\,P(A|B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Unter Unabhängigkeit gilt \,P(A|B) = P(A). Somit:

\,P(A) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Durch Umstellen erhält man:

P(A \cap B) \,=P(A)\cdot P(B)