Mittlere absolute Abweichung

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Univariate Statistik

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Grundbegriffe

Mittlere absolute Abweichung

Das arithmetische Mittel aus den absoluten Abweichungen der Beobachtungswerte von einem bestimmten Bezugspunkt c heißt mittlere absolute Abweichung, im Weiteren mit d symbolisiert.

Der Bezugspunkt c kann einem beliebigen Wert auf der Merkmalsachse entsprechen. Im Allgemeinen wird aber ein Mittelwert (der Median x_{0,5} oder das arithmetische Mittel \bar{x}) verwendet.

Die mittlere absolute Abweichung ist ein lineares Streuungsmaß, das alle Merkmalswerte in die Berechnung einbezieht.

Die erste der folgenden Formeln wird bei nicht-klassierten Daten verwendet, wobei  x_{i} die Beobachtungswerte sind, und die zweite Formel bei klassierten Daten, wobei  x_{j} die Klassenmitte der j-ten Klasse ist:

 d=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}|x_{i}-c|

d=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{k}|x_{j}-c|\cdot h(x_{j})=\sum\limits_{j=1}^{k}|x_{j}-c|\cdot f(x_{j})

Zusatzinformationen

Beziehung zum Median

Aus der linearen Minimumeigenschaft des Median folgt: d( x_{0.5} ) < d( c).

Das bedeutet, dass es keinen Wert c gibt, sodass die mittlere absolute Abweichung geringer wird als bei Verwendung des Medians als Bezugspunkt (c = x_{0,5} ).

Lineare Transformation

 y_{i}=a+bx_{i}\Rightarrow d_{y}=|b|\cdot d_{x}

Beispiele

Mittlere absolute Abweichung des Medians und arithmetischen Mittels

Beobachtungswerte:  2, 5, 9, 20, 22, 23, 29

 x_{0.5}=20,\ d(x_{0.5})=8,29

 \bar{x}=15.71,\ d(\bar{x})=8.90