Mengenlehre

Grundbegriffe

Element

Unter Elementen verstehen wir bestimmte wohlunterschiedene Objekte $m$ unserer Anschauung oder unseres Denkens. (Definition nach Georg Cantor)

Menge

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung $M$ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten $m$ unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von $M$ genannt werden) zu einem Ganzen. (Definition nach Georg Cantor)

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Ereignisse als Teilmengen des Ereignisraumes $S$ definiert.

Da demnach Ereignisse Mengen sind, können die für Mengen definierten Relationen und Operationen (werden im Folgenden erklärt) direkt auf Ereignisse angewandt werden.

Klasse bzw. Gruppe

Die Vereinigung von Elementen nennt man Klasse bzw. Gruppe.

Beispiel: Die Menge $M$ sei gegeben durch $M = \left\lbrace a,b,c \right\rbrace$. Eine Klasse der Menge $M$ wäre also z.B. $ac$.

Venn-Diagramm

Das Venn-Diagramm ist eine grafische Veranschaulichung von Ereignisraum und Ereignissen, die als Flächen abgebildet werden.

Relationen und Operationen von Ereignissen

Leere Menge

Eine Menge $M$, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Man schreibt $M = \emptyset$.

Bezogen auf ein Ereignis $A$ mit $A = \emptyset$ bedeutet dies, dass $A$ ein unmögliches Ereignis ist.

Teilmenge

Eine Menge $M$ heißt Teilmenge einer Menge $N$, wenn jedes Element von $M$ auch Element von $N$ ist. Teilmenge schreibt man als: $M \subseteq N$.

Bezogen auf Ereignisse $A$ und $B$ mit $A \subseteq B$ bedeutet dies, dass wenn Ereignis $A$ eintritt, muss auch Ereignis $B$ eintreten.

Das folgende Venn-Diagramm veranschaulicht dies:

Vereinigung oder logische Summe von Ereignissen

Die Vereinigung oder logische Summe zweier Ereignisse $A$ und $B$ ist die Menge aller Elementarereignisse, die zu $A \ \mbox{oder} \ B$ gehören. Man schreibt $A \cup B= C$.

Die Vereinigung lässt sich über eine beliebige Anzahl $n$ von Ereignissen $A_{1},A_{2} ,\ldots,A_{n}$ bilden: $A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=\cup_{i=1}^{n}A_{i}$

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7, height=7) library("rJava") library("venneuler") library("graphics") venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) { x = y = 0 sets = strsplit(set, '&', fixed=T) for (i in 1:length(sets)) { if (length(setsi)==0) { x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2) y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2) } else { pos <- match(setsi, rownames(vd$centers)) x <- mean(vd$centers[pos,1]) y <- mean(vd$centers[pos,2]) } text(x+xs, y+ys,cex=2.3, ...) } } venn <- function(...) { vd <- venneuler(unlist(list(...))) vd$labels=c("","","") par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3,0)) return(vd) } par(bg="antiquewhite1") par(mfrow=c(2,1)) vd1 <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10) vd1$colors <- c(0.3333333, 0.6666666, 1.0) vd2 <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10) vd2$colors <- c(0.3333333, 0.3333333, 1.0) plot(vd1) text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd1, "A", xs=0.12, ys=0.02, labels="Ereignis B") venn.text(vd1, "B", xs=-0.12, ys=0.02, labels="Ereignis A") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=2.5, font.main=1) plot(vd2) text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd2, "A", xs=-0.05, ys=0.02, labels=expression(paste(A,union(B)))) venn.text(vd2, "B", xs=0.05, ys=0.02, labels="Ereignis") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=2.5, font.main=1) </R>

Durchschnitt von Ereignissen

Der Durchschnitt zweier Ereignisse $A$ und $B$ ist die Menge aller Elementarereignisse, die sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehören. Man schreibt $A \cap B = C$.

Die Verallgemeinerung der Durchschnittsoperation auf $n$ Ereignisse $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ schreibt man als $A_{1}\cap A_{2}\cap\ldots\cap A_{n}=\cap_{i=1}^{n}A_{i}$.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7, height=7) library("rJava") library("venneuler") venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) { x = y = 0 sets = strsplit(set, '&', fixed=T) for (i in 1:length(sets)) { if (length(setsi)==0) { x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2) y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2) } else { pos <- match(setsi, rownames(vd$centers)) x <- mean(vd$centers[pos,1]) y <- mean(vd$centers[pos,2]) } text(x+xs, y+ys,cex=2.7, ...) } } venn <- function(...) { vd <- venneuler(unlist(list(...))) vd$labels=c("","","") par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3.5,0)) return(vd) } vd <- venn(A=25, B=25, "A&B"=10) par(bg = "antiquewhite1") plot(vd) text(0.18, 0.9, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd, "A", xs=0.11, ys=0.02, labels="Ereignis B") venn.text(vd, "B", xs=-0.11, ys=0.02, labels="Ereignis A") venn.text(vd, "A&B", xs=0.0, ys=-0.04, labels=expression(paste(A,intersect(B)))) box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=3.5, font.main=1) </R>

Logische Differenz von Ereignissen

Das Ereignis $C$ ist die logische Differenz der Ereignisse $A$ und $B$, wenn $C$ das Ereignis charakterisiert, bei dem $A$ aber nicht $B$ eintritt.

Man schreibt: $A\backslash B=C\equiv A\cap\overline{B}$

Disjunkte Ereignisse

Zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen disjunkt (sich ausschließend), wenn ihr gleichzeitiges Eintreten unmöglich ist und damit der Durchschnitt die leere Menge ist: $A\cap B=\emptyset$

Wie aus den Beziehungen weiter oben ersichtlich, ist ein Ereignis stets zu seinem Komplementärereignis disjunkt.

Aber: Disjunkte Ereignisse sind nicht notwendig komplementär.

<R output="display"> pdf(rpdf) library("rJava") library("venneuler") venn.text <- function (vd, set="", xs=0, ys=0, ...) { x = y = 0 sets = strsplit(set, '&', fixed=T) for (i in 1:length(sets)) { if (length(setsi)==0) { x <- min(vd$centers[,1]-vd$diameters/2) y <- max(vd$centers[,2]+vd$diameters/2) } else { pos <- match(setsi, rownames(vd$centers)) x <- mean(vd$centers[pos,1]) y <- mean(vd$centers[pos,2]) } text(x+xs, y+ys,cex=3.5, ...) } } venn <- function(...) { vd <- venneuler(unlist(list(...))) vd$labels=c("","","") par(mar=c(0.1,0.1,0.1,0.1), oma=c(0,0,3.5,0)) return(vd) } vd <- venn(A=0.4, B=0.4, "A&B"=-0.015) par(bg = "antiquewhite1") plot(vd) text(0.1, 1, "Ereignisraum S", adj = c(0,0), cex=3.5) venn.text(vd, "A", xs=0.0, ys=0.0, labels="Ereignis B") venn.text(vd, "B", xs=0.0, ys=0.0, labels="Ereignis A") box() title(main='Ereignisraum S', outer=TRUE, cex.main=3.5, font.main=1) </R>

Zerlegung des Ereignisraums

Ein System von Ereignissen $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ heißt eine Zerlegung von $\, S$, wenn

• $A_{i}\neq\emptyset\quad\left( i=1,2,\ldots,n\right)$
• $A_{i} \cap A_{k}=\emptyset \mbox{ disjunkt, sofern } i\neq k$
• $A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=S$

gilt und eines der Ereignisse bei einem Zufallsexperiment eintreten muss.

Eine Zerlegung kann man sich als eine Aufteilung aller Elementarereignisse in Gruppen vorstellen, wobei jedes Elementarereignis in genau einer Gruppe vorkommt (so wie man eine Schulklasse in Gruppen aufteilt).

Vollständige Zerlegung des Ereignisraums

Die Ereignisse $A_{1},\; A_{2},\ldots,A_{n}$ bilden eine vollständige Zerlegung des Ereignisraumes $S$, wenn

• $A_{i} \cap A_{k}=\emptyset\quad \mbox{, wenn } i,k=1,2,\ldots,n;\quad i\neq k$
• $A_{1}\cup A_{2}\cup\ldots\cup A_{n}=S$
• $P(A_{i})>0 \quad \mbox{, wenn } i=1,\ldots,n$

gilt.

Zusatzinformationen

Interpretation der Relationen und Operationen von Ereignissen

Beschreibung des zugrundeliegenden Sachverhaltes	Bezeichnung (Sprechweise)	Darstellung
$\,A$ tritt sicher ein	$\, A$ ist sicheres Ereignis	$\, A=S$
$\, A$ tritt sicher nicht ein	$\, A$ ist unmögliches Ereignis	$\, A=\emptyset$
wenn $\, A$ eintritt, tritt $\, B$ ein	$\, A$ ist Teilmenge von $\, B$	$A\subset B$
genau dann, wenn $\, A$ eintritt, tritt $\, B$ ein	$\, A$ und $\, B$ sind äquivalente Ereignisse	$\, A = B$
wenn $\, A$ eintritt, tritt $\,B$ nicht ein	$\,A$ und $\,B$ sind disjunkte Ereignisse	$\,A\cap B=\emptyset$
genau dann, wenn $\,A$ eintritt, tritt $\, B$ nicht ein	$\, A$ und $\, B$ sind komplementäre Ereignisse	$\, B=\overline{A}$
genau dann, wenn mindestens $\, A_{i}$ eintritt (genau dann, wenn $\,A_{1}$ oder $\,A_{2}$ oder $\ldots$ eintreten), tritt $\,A$ ein	$\,A$ ist Vereinigung der $\, A_{i}$	$A=\cup_{i}A_{i}$
genau dann, wenn alle $\,A_{i}$ eintretten (genau dann, wenn $\,A_{1}$ und $\,A_{2}$ und $\ldots$ eintreten), tritt $\,A$ ein	$\,A$ ist Durchschnitt der $\,A_{i}$	$\, A=\cap_{i}A_{i}$

Beispiele

Vereinigung von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

$A=\{1,2\}$

$B=\{2,4,6\}$

damit ergibt sich $A\cup B= C =\{1,2,4,6\}$

Es gilt:

$A\cup A=A$

$A\cup S=S$

$A\cup\emptyset=A$

$A\cup\overline{A}=S$

Durchschnitt von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

$A=\{1,2\}$

$B=\{2,4,6\}$

damit ergibt sich $A\cap B=C=\{2\}$

Es gilt:

$A\cap A=A$

$A \cap S=A$

$A\cap\emptyset=\emptyset$

$A \cap\overline{A}=\emptyset$

$\emptyset\cap S=\emptyset$

Disjunkte vs. komplementäre Ereignisse

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

• $A=\{1,3,5\}$, $B=\{2,4,6\}$

Aus den Ereignissen $A$ und $B$ ergibt sich:

$B=\overline{A}$

$A=\overline{B}$

damit ergibt sich $A\cap B=A \cap\overline{A}= \emptyset$

Die Ereignisse $A$ und $B$ sind komplementär und disjunkt

• $C=\{1,3\}$, $D=\{2,4\}$

damit ergibt sich $C\cap D=\emptyset$

Die Ereignisse $C$ und $D$ sind disjunkt, aber nicht komplementär (es gibt noch die Würfelzahlen 5 und 6)

Logische Differenz von Ereignissen

Zufallsexperiment: einmaliges Werfen eines Würfels

$A=\{1,2,3\}$

$B=\{3,4\}$

Dann sind:

$A \backslash B=C=\{1,2\}$ und $B \backslash A=\{4\}$

Zerlegung des Ereignisraums

Zufallsexperiment: Werfen eines Würfels

$\, S=\{1,2,3,4,5,6\}$

$\, A_{1}=\{1\}, \quad A_{2}=\{3,4\}, \quad A_{3}=\{1,3,4\}, \quad A_{4}=\{5,6\}, \quad A_{5}=\{2,5\}, \quad A_{6}=\{6\}$.

Eine Zerlegung von $\, S$ ist mit den Ereignissen $\, A_{1},\; A_{2},\; A_{5},\; A_{6}$ gegeben, denn es gilt:

$A_{1}\cap A_{2}=\emptyset \quad A_{1}\cap A_{5}=\emptyset \quad A_{1}\cap A_{6}=\emptyset$

$A_{2}\cap A_{5}=\emptyset \quad A_{2}\cap A_{6}=\emptyset \quad A_{5}\cap A_{6}=\emptyset$

$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{5}\cup A_{6}=S$.