Kovarianz (empirisch)

Grundbegriffe

(Empirische) Kovarianz

Die empirische Kovarianz oder auch kurz Kovarianz ist ein spezieller Parameter für zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen, der die gemeinsame Variabilität zweier metrisch skalierter Merkmale $X$ und $Y$ misst.

Die Kovarianz wird kaum als eigenständiger Parameter verwendet. Sie dient vielmehr als Hilfsgröße, die zur Berechnung anderer Parameter gebraucht wird (vgl. Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient).

Für eine zweidimensionale Häufigkeitsverteilung mit den absoluten Häufigkeiten $h(x_{i};y_{j})$ bzw. den relativen Häufigkeiten $f(x_{i};y_{j}) \ \mbox{mit} \ i=1,\ldots , m, j=1,\ldots ,r$ berechnet sich die Kovarianz wie folgt:

$Cov(X,Y) = s_{xy} \;$	$={\frac{1}{n\cdot(n-1)}}\cdot\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-\bar{x})\cdot(y_{j}-\bar{y})\cdot h_{ij}$
	$={\frac{1}{n-1}}\sum_{i=1}^{m}\cdot\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-\bar{x})\cdot(y_{j}-\bar{y})\cdot f_{ij}$

Im Gegensatz zur empirischen Varianz kann die Kovarianz auch negative Werte annehmen.

Zusatzinformationen

Kovarianz bei Unabhängigkeit

Sind die Merkmale $X\;$ und $Y\;$ voneinander unabhängig, besteht also zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ kein Zusammenhang, nimmt die Kovarianz den Wert Null an.

Es gilt: $Cov(X,Y)=s_{xy}=0$

Beweis:

$\,s_{xy}$	$=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))\cdot(y_{j}-E(y))\cdot p_{ij}$
	$=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-E(x))(y_{j}-E(y))\cdot p_{i}\cdot p_{j}$
	$=\left( \sum_{i=1}^{m}(x_{i}-E(x))\cdot p_{i}\right)\cdot \left( \sum_{j=1}^{r}(y_{j}-E(y))\cdot p_{j}\right)$
	$=\left( \sum_{i=1}^{m}x_{i}p_{i}-E(x)\cdot\sum_{i=1}^{m}p_{i}\right)\cdot \left(\sum_{j=1}^{r}y_{j}p_{j}-E(y)\cdot\sum_{j=1}^{r}p_{j}\right)$
	$\,=\left(E(x)-E(x)\right)\cdot\left(E(y)-E(y)\right)=0$

Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht zwangsläufig. Das heißt, wenn die Kovarianz zwischen den Merkmalen $X\;$ und $Y\;$ Null ist, kann nicht unbedingt daraus geschlossen werden, dass sie unabhängig sind.

Kovarianz und Varianz

Die empirische Kovarianz eines Merkmals mit sich selbst entspricht der empirischen Varianz dieses Merkmals $s_{x}^{2}=s_{xx}=Cov(X,X)$

Lineare Transformation

$S=a+bX,\quad T= c+dY$

$Cov(S,T)=Cov(a+bX,c+dY)=b\cdot d\cdot Cov(X,Y)$

Beispiele

Gewinn und Miete

An $n = 15$ Unternehmen wurden die Merkmale $Y\;$ - Jahresgewinn (in Mio. €) und $X\;$ - Jahresmiete für die EDV-Anlage (in 1000 €) beobachtet, deren Merkmalswerte in den Spalten 2 und 3 der folgenden Tabelle enthalten sind.

Unternehmen	Jahresgewinn in Mio. €	Jahresmiete in 1000 €
$\,i$	$\,y_{i}$	$\,x_{i}$	$(y_{i}-\bar{y})$	$(x_{i}-\bar{x})$	$(y_{i}-\bar{y})\cdot(x_{i}-\bar{x})$
1	10	30	-20	-170	3400
2	15	30	-15	-170	2550
3	15	100	-15	-100	1500
4	20	50	-10	-150	1500
5	20	100	-10	-100	1000
6	25	80	-5	-120	600
7	30	50	0	-150	0
8	30	100	0	-100	0
9	30	250	0	50	0
10	35	180	5	-20	-100
11	35	330	5	130	650
12	40	200	10	0	0
13	45	400	15	200	3000
14	50	500	20	300	6000
15	50	600	20	400	8000

Wie groß ist die gemeinsame Variabilität der Merkmale $X\;$ und $Y\;$ bei diesen 15 Unternehmen?

Die arithmetischen Mittel der Merkmale sind:

$\bar{y}=30$ (Mio. €)

$\bar{x}=200$ (1000 €)

Die Abweichungen der Merkmalswerte des Merkmals $Y\;$ vom arithmetischen Mittel $\bar{Y}$ enthält die Spalte 4 der Tabelle.

Die Abweichungen der Merkmalswerte von $X\;$ vom arithmetischen Mittel $\bar{X}$ sind in Spalte 5 angegeben.

Die Kovarianz errechnet sich nach der Formel

$\,Cov(X,Y) = s_{XY}$	$\,={\frac{1}{n-1}}\cdot\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-\bar{x})\cdot(y_{j}-\bar{y})\cdot h_{ij}$
	$={\sum_{i=1}^{m}}\sum_{j=1}^{r}(x_{i}-\bar{x})\cdot(y_{i}-\bar{y})\cdot f_{ij}$

Die Abweichungsprodukte für jedes Unternehmen enthält die Spalte 6 der Tabelle.

Die Summe der Werte in dieser Spalte, dividiert durch $n = 15$, ist die gesuchte Kovarianz:

$\,Cov(X,Y)=s_{XY} = \frac{28100}{15}=1873,33$.