Konsistenz

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Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konsistenz

Eine Schätzfunktion \hat{\theta}_{n} des unbekannten Parameters \vartheta heißt konsistent, wenn die beiden Bedingungen

 \lim_{n \to \infty} E\left[\hat{\theta}_{n}\right]=\vartheta

und

 \lim_{n \to \infty} Var\left(\hat{\theta}_{n}\right)=0

gelten. D.h. bei steigendem Stichprobenumfang n geht sowohl die Verzerrung, als auch die Varianz der Schätzfunktion gegen Null.

Konsistenz wird als minimale Güteanforderung an Schätzfunktionen angesehen.

Es sei jedoch darauf verwiesen, dass eine konsistente Schätzfunktion für endliche Stichprobenumfänge durchaus eine große Varianz und eine erhebliche Verzerrung aufweisen kann.

Andererseits lässt sich bei vielen praktischen Problemstellungen der Stichprobenumfang nicht beliebig vergrößern.

Zusatzinformationen

Konsistenz wichtiger Schätzfunktionen

Stichprobenmittelwert

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sigma^{2}}{n}=0

Stichprobenanteilswert

Für einfache Zufallsstichproben ist der Stichprobenanteilswert \widehat{\pi}_{n} eine konsistente Schätzfunktion für den unbekannten Anteilswert \pi einer dichotomen Grundgesamtheit, da die Schätzfunktion erwartungstreu und somit die Verzerrung Null ist und für die Var(\widehat{\pi}_{n})=\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n} gilt

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi\cdot(1-\pi)}{n}=0

Stichprobenvarianz

Die Schätzfunktion

S^{2}=\frac{1}{n-1}\cdot\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}

ist eine konsistente Schätzfunktionen für die unbekannten Varianz \sigma^{2} der Grundgesamtheit, da die Schätzfunktion erwartungstreu und somit die Verzerrung Null ist und für die Var(S^{2})=\frac{2\sigma^{4}}{n-1} gilt

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot\sigma^{4}}{n-1}=0