Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 23. Januar 2019, 17:30 Uhr

Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei Normalverteilung der Grundgesamtheit

Es gilt:

.

Weiterhin sei die Standardabweichung als Wurzel aus der Stichprobenvarianz und das -Quantil der t-Verteilung.

Dann ist

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter der normalverteilten Zufallsvariablen mit unbekannter Varianz zum Konfidenzniveau

Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte vor, dann lassen sich daraus

  • die Punktschätzwerte und
bestimmen.

Da die t-Verteilung mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade und somit mit wachsendem Stichprobenumfang gegen die konvergiert, kann bei genügend großem Stichprobenumfang approximativ die Standardnormalverteilung und statt verwendet werden. Man erhält dann ein approximatives Konfidenzintervall.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit

Wenn die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt und die Varianz unbekannt ist, kann unter der Voraussetzung eines großen Stichprobenumfanges das Konfidenzintervall

verwendet werden, das näherungsweise das Konfidenzniveau

hat.

Dies lässt sich darauf zurückführen, dass

  • die Schätzfunktion eine konsistente Schätzfunktion für ist und somit auch konsistent ist, d.h. es kann bei sehr großem Stichprobenumfang davon ausgegangen werden, dass hinreichend wenig um den wahren Wert streut;

Zusatzinformationen

Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

Es gilt:

.

Die standardisierte Zufallsvariable lässt sich jedoch nicht mehr bestimmen, da nunmehr unbekannt ist.

Die Varianz muss aus der Stichprobe geschätzt werden. Eine geeignete Schätzfunktion ist die Stichprobenvarianz

Die Standardabweichung als Wurzel aus wird für die Standardisierung verwendet:

Die Zufallsvariable folgt bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade :

Für die standardisierte Zufallsvariable lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit

annimmt.

Dabei ist das -Quantil und das -Quantil der t-Verteilung.

Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung gilt:

und

Damit folgt:

Für die Wahrscheinlichkeit findet man in der Tabelle der t-Verteilung.

Die Verteilung ist somit bekannt und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter ab, so dass man nach Einsetzen von und einfachen Umformungen der Ungleichung ein Konfidenzintervall

zum Konfidenzniveau

erhält.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

hängen über von den Stichprobenvariablen ab und sind somit Zufallsvariablen.
Bei gegebenem Stichprobenumfang und Konfidenzniveau ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die auch verschiedene Länge bzw. verschiedenen Schätzfehler aufweisen können.
Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich ist in die t-Verteilung "eingearbeitet".