Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz

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Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei Normalverteilung der Grundgesamtheit

Es gilt:

$X\sim N(\mu ;\sigma ),\;X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )\;\forall \,i\,,\;{\bar {X}}\sim N\left(\mu ;\sigma \left({\bar {X}}\right)\right)$.

Weiterhin sei $S$ die Standardabweichung als Wurzel aus der Stichprobenvarianz $S^{2}$ und $t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ das $\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)$-Quantil der t-Verteilung.

Dann ist

$\left[{\bar {X}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}};\quad {\bar {X}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

ein Konfidenzintervall für den unbekannten Parameter $\mu$ der normalverteilten Zufallsvariablen $X\;$ mit unbekannter Varianz $\sigma ^{2}$ zum Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

Wurde die Stichprobe gezogen und liegen die Stichprobenwerte $x_{1},\ldots ,x_{n}$ vor, dann lassen sich daraus

• die Punktschätzwerte ${\bar {x}}$ und $s$

• und das Schätzintervall

$\left[{\bar {x}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {x}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {s}{\sqrt {n}}}\right]$

bestimmen.

Da die t-Verteilung mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade und somit mit wachsendem Stichprobenumfang $n$ gegen die $N(0;1)$ konvergiert, kann bei genügend großem Stichprobenumfang $(n>30)$ approximativ die Standardnormalverteilung und $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ statt $t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ verwendet werden. Man erhält dann ein approximatives Konfidenzintervall.

Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Verteilung der Grundgesamtheit

Wenn die Zufallsvariable $X\;$ in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt und die Varianz $\sigma ^{2}$ unbekannt ist, kann unter der Voraussetzung eines großen Stichprobenumfanges $n$ das Konfidenzintervall

$\left[{\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}};{\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

verwendet werden, das näherungsweise das Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

hat.

Dies lässt sich darauf zurückführen, dass

• bei beliebig verteilter Grundgesamtheit die standardisierte Zufallsvariable $Z\;$ bei großem Stichprobenumfang approximativ standardnormalverteilt ist (Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes);

• die Schätzfunktion $S^{2}\;$ eine konsistente Schätzfunktion für $\sigma ^{2}$ ist und somit auch $S$ konsistent ist, d.h. es kann bei sehr großem Stichprobenumfang $n$ davon ausgegangen werden, dass $S\;$ hinreichend wenig um den wahren Wert $\sigma$ streut;

• die Zufallsvariable $T\;$, in der $\sigma$ durch $S\;$ ersetzt wurde, ebenfalls bei genügend großem Stichprobenumfang approximativ standardnormalverteilt ist.

Zusatzinformationen

Herleitung des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

Es gilt:

$X\sim N(\mu ;\sigma ),\;X_{i}\sim N(\mu ;\sigma )\;\forall \,i\,,\;{\bar {X}}\sim N\left(\mu ;\sigma \left({\bar {X}}\right)\right)$.

Die standardisierte Zufallsvariable $Z$ lässt sich jedoch nicht mehr bestimmen, da $\sigma ^{2}$ nunmehr unbekannt ist.

Die Varianz $\sigma ^{2}$ muss aus der Stichprobe geschätzt werden. Eine geeignete Schätzfunktion ist die Stichprobenvarianz

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\cdot \sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$

Die Standardabweichung $S$ als Wurzel aus $S^{2}$ wird für die Standardisierung verwendet:

$T={\sqrt {n}}\cdot {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S}}$

Die Zufallsvariable $T\;$ folgt bei einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ einer t-Verteilung mit der Anzahl der Freiheitsgrade $f=n-1$:

$T\sim t(n-1)\;$

Für die standardisierte Zufallsvariable $T\;$ lässt sich ein zentrales Schwankungsintervall angeben, in dem $T\;$ Realisationen mit einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit

$P\left(t_{f;{\frac {\alpha }{2}}}\leq T\leq t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

annimmt.

Dabei ist $t_{f;{\frac {\alpha }{2}}}$ das ${\frac {\alpha }{2}}$-Quantil und $t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ das $\left(1-{\frac {\alpha }{2}}\right)$-Quantil der t-Verteilung.

Aufgrund der Symmetrie der t-Verteilung gilt:

$|t_{f;{\frac {\alpha }{2}}}|=|t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}|$ und $t_{f;{\frac {\alpha }{2}}}=-t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}$

Damit folgt:

$P\left(-t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}\leq T\leq t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha$

Für die Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ findet man $t_{f;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ in der Tabelle der t-Verteilung.

Die Verteilung ist somit bekannt und sie hängt nicht von dem unbekannten Parameter $\mu$ ab, so dass man nach Einsetzen von $T$ und einfachen Umformungen der Ungleichung ein Konfidenzintervall

$\left[{\bar {X}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}};\quad {\bar {X}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right]$

zum Konfidenzniveau

$P\left({\bar {X}}-t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\right)=1-\alpha$

erhält.

Charakteristika des Konfidenzintervalls bei normalverteilter Grundgesamtheit

• Das Konfidenzintervall ist ein bezüglich der Wahrscheinlichkeit symmetrisches Konfidenzintervall.
• Das Konfidenzintervall ist symmetrisch bezüglich der Punktschätzung. Die Grenzen des Intervalls haben zu ${\bar {X}}$ den gleichen Abstand.
• Die Länge $L$ des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler $E$

$L=2t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}\quad E=t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}\cdot {\frac {S}{\sqrt {n}}}$

hängen über $S$ von den Stichprobenvariablen $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ab und sind somit Zufallsvariablen.

Bei gegebenem Stichprobenumfang $n$ und Konfidenzniveau $1-\alpha$ ergeben sich von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Schätzintervalle, die auch verschiedene Länge bzw. verschiedenen Schätzfehler aufweisen können.

• Die Länge des Konfidenzintervalls und der Schätzfehler hängen vom Stichprobenumfang $n$ und über $t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ vom vorgegebenen Konfidenzniveau $1-\alpha$ ab.

• Da die Quantile $t_{n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der t-Verteilung größer sind als die Quantile $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ aus der Standardnormalverteilung, sind die Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit breiter als bei bekannter Varianz, wodurch diese fehlende Information zum Ausdruck kommt.

Die zusätzliche Unsicherheit bezüglich $\sigma ^{2}$ ist in die t-Verteilung "eingearbeitet".