Konfidenzintervall für den Erwartungswert: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 18. Mai 2018, 14:34 Uhr

Schätztheorie

Grundbegriffe der Schätztheorie • Gütekriterien einer Schätzfunktion • Mittlere quadratische Abweichung (stochastisch) • Erwartungstreue • Effizienz • Konsistenz • Maximum-Likelihood-Methode • Kleinste-Quadrate-Methode • Intervallschätzung • Konfidenzintervall für den Erwartungswert • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei bekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Erwartungswert bei unbekannter Varianz • Konfidenzintervall für den Anteilswert • Konfidenzintervall für die Varianz • Konfidenzintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte • Bestimmung des Stichprobenumfangs • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Absolute Effizienz • Asymptotische Erwartungstreue • Bias • Breite des Konfidenzintervalls • Einseitiges Konfidenzintervall • Grenzen des Konfidenzintervalls • Grenzen des Schätzintervalls • Irrtumswahrscheinlichkeit • Kleinste-Quadrate-Schätzer • Konfidenzintervall • Konfidenzniveau • Konfidenzwahrscheinlichkeit • KQ-Methode • KQ-Schätzer • Länge des Konfidenzintervalls • Likelihood-Funktion • Log-Likelihood-Funktion • Maximum-Likelihood-Schätzer • Maximum-Likelihood-Schätzung • Mean Square Error • Methode der kleinsten Quadrate • ML-Schätzer • ML-Schätzung • Parameterschätzung • Punktschätzung • Realisiertes Konfidenzintervall • Relative Effizienz • Schätzer • Schätzfehler • Schätzfunktion • Schätzintervall • Schätzung • Schätzverfahren • Schätzwert • Symmetrisches Konfidenzintervall • Unbiasedness • Unverzerrtheit • Vertrauenswahrscheinlichkeit • Verzerrung • Zentrales Konfidenzintervall • Zufallsintervall • Zweiseitiges Konfidenzintervall

Grundbegriffe

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Die Zufallsvariable X\; in der Grundgesamtheit habe den unbekannten Erwartungswert E[X] = \mu, für den eine Intervallschätzung erfolgen soll.

X_{1},\ldots,X_{n} seien die Stichprobenvariablen einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang n aus dieser Grundgesamtheit.

Es wurde bereits gezeigt, dass der Stichprobenmittelwert

\bar{X}=\frac{1}{n}\cdot \sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}

ein geeigneter Punktschätzer für den unbekannten Erwartungswert E[X] = \mu der Grundgesamtheit ist, da der Schätzer erwartungstreu und konsistent ist.

Die Varianz und die Standardabweichung von \bar{X} sind im Falle einer einfachen Zufallsstichprobe (siehe Abschnitt Stichprobenverteilungen) gegeben mit

Var(\bar{X})=\sigma^{2}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}

\sigma(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Für die Konstruktion eines symmetrischen Konfidenzintervalls für \mu wird

Damit das Intervall

\left[ V_{u};V_{o}\right]=\left[\bar{X}-c\cdot\sigma\left(\bar{X}\right);\;\bar{X}+c\cdot\sigma\left(\bar{X}\right)\right]

bzw. nach Einsetzen von \sigma(\bar{X})

\lbrack V_{u};V_{o}]=\left[\bar{X}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}};\;\bar{X}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau

P\left(\bar{X}-c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+c\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)  =1-\alpha

sein kann, müssen die beiden Bedingungen für ein Konfidenzintervall erfüllt sein.

Die erste Bedingung V_{u} \leq V_{o} für alle möglichen realisierbaren Stichproben X_{1},\ldots,X_{n}

ist erfüllt.

Die Erfüllung der zweiten Bedingung

P\left(V_{u} \leq \mu \leq  V_{o}\right) = 1 -  \alpha, wobei die Wahrscheinlichkeit tatsächlich (bzw. approximativ) und ohne Kenntnis des wahren Wertes des Parameters \mu bestimmbar sein muss, setzt jedoch die Kenntnis der Verteilung der Schätzfunktion \bar{X} und damit der Verteilung der Zufallsvariablen X\; in der Grundgesamtheit voraus.

Das bereitet oftmals erhebliche praktische Schwierigkeiten, da im Allgemeinen die Verteilung von X\; unbekannt ist.

Es werden hier die Fälle betrachtet, dass

Ein weiteres Problem liegt darin, dass in den Intervallgrenzen die Standardabweichung \sigma der Zufallsvariablen X\; in der Grundgesamtheit enthalten ist, so dass nach den beiden Möglichkeiten

  • \sigma ist bekannt und
  • \sigma ist unbekannt

unterschieden werden muss.

In den Unterkapiteln

werden diese Fälle gesondert betrachtet.