Kombination (Kombinatorik)

Grundbegriffe

Kombination

Jede Zusammenstellung von $k$ Elementen aus $n$ Elementen, die sich ohne Berücksichtigung ihrer Anordnung ergibt, wird als Kombination von $n$ Elementen zur $k$-ten Ordnung bezeichnet.

Seien $a$ und $b$ Elemente. In der Kombination sind also $ab$ und $ba$ gleichwertig, da die Reihenfolge von $b$ und $a$ keine Beachtung findet.

Kombination ohne Wiederholung

Eine Kombination ohne Wiederholung berechnet sich auf folgende Weise:

$K(n,k) = {n \choose k} = {n \choose n-k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

Kombination mit Wiederholung

Für die Kombination mit Wiederholung ergibt sich:

$K(n,k) = {n+k-1 \choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!}$

Beispiele

Lotto

Millionen Deutsche versuchen jeden Samstag ihr Glück beim Lotto. Sie wählen aus 49 Zahlen 6 aus und hoffen, dass diese 6 Zahlen sie reich machen.

Bei der Wahl ihrer Zahlen gehen die Spieler dabei oft höchst mysteriös vor - sie wählen den eigenen Geburtstag, den des Hundes, oder entscheiden sich für Zahlen aus dem Horoskop.

Doch wie viele Möglichkeiten, 6 Zahlen anzukreuzen, gibt es eigentlich?

Aus 49 Zahlen (Elementen) werden 6 Zahlen (Elemente) ausgewählt. Die Reihenfolge, in der die Zahlen angekreuzt werden, spielt keine Rolle - es ist egal, ob erst die 4 und dann die 23 angekreuzt wird oder umgekehrt.

Das heißt, die Anordnung der Elemente bleibt unberücksichtigt.

Diese beiden Informationen schließen somit die Anwendung der Permutation (Zusammenstellung aller $n$ Elemente) und der Variation (Anordnung der Elemente wird berücksichtigt) aus.

Die Kombination ist an dieser Stelle die richtige Wahl.

Die Kombination eröffnet wiederum zwei Möglichkeiten: Kombination ohne Wiederholung und Kombination mit Wiederholung.

Da eine Zahl auf dem Tippschein nur einmal angekreuzt werden kann, also keine Wiederholungen möglich sind, ist die Kombination ohne Wiederholung das richtige Verfahren zur Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 6 aus 49 Zahlen zu wählen.

$n = 49, k = 6$

$K(n,k) = (n, k) =\frac{V(n,k)}{P(k)} = \frac{n\,!}{k\,! \cdot (n - k)\, !}$

$K(n,k) = \frac{49\,!}{6\,! \cdot (49 - 6)\,!} = 13\,983\,816$

Es gibt also $13\,983\,816$ mögliche Kombinationen von 6 aus 49 Zahlen.