Quelltext der Seite Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient/Beispiel: Leichtathletik


==Leichtathletik==

Gegeben sei die Platzierung von 20 Sportlern in den beiden Leichtathletik-Disziplinen 100 Meter-Lauf und 200 Meter-Lauf:

{| class="wikitable"
|Sportler <math>(i)</math>
|align="right"|01
|align="right"|02
|align="right"|03
|align="right"|04
|align="right"|05
|align="right"|06
|align="right"|07
|align="right"|08
|align="right"|09
|align="right"|10
|align="right"|11
|align="right"|12
|align="right"|13
|align="right"|14
|align="right"|15
|align="right"|16
|align="right"|17
|align="right"|18
|align="right"|19
|align="right"|20
|-
|100 Meter <math>(x)</math>
|align="right"|5
|align="right"|7
|align="right"|3
|align="right"|13
|align="right"|2
|align="right"|15
|align="right"|19
|align="right"|14
|align="right"|12
|align="right"|1
|align="right"|6
|align="right"|20
|align="right"|17
|align="right"|4
|align="right"|18
|align="right"|11
|align="right"|10
|align="right"|16
|align="right"|9 
|align="right"|8
|-
|200 Meter <math>(y)</math>
|align="right"|3
|align="right"|9
|align="right"|1
|align="right"|10
|align="right"|7
|align="right"|5
|align="right"|13
|align="right"|14
|align="right"|17
|align="right"|4
|align="right"|11
|align="right"|16
|align="right"|18
|align="right"|12
|align="right"|20
|align="right"|2
|align="right"|15
|align="right"|19
|align="right"|6
|align="right"|8
|}

Im Folgenden soll der statistische Zusammenhang zwischen der Platzierung der Sportler in den einzelnen Disziplinen ermittelt werden.

Da es sich um [[Ordinalskala|ordinalskalierte]] Daten handelt, werden der [[Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient|Spearman'sche]] und der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient verwendet. 

Die Berechnung beider Koeffizienten liefert die folgenden Ergebnisse:

<pre>
Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient: 0.6617
Kendall'scher Rangkorrelationskoeffizient: 0.4526
konkordante Paare: 138
diskordante Paare: 52
gleich nur bzgl. x: 0
gleich nur bzgl. y: 0
gleich bzgl. x und y: 0
</pre>

Der [[Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient|Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient]] errechnet sich nach der Formel:

<math>r_s = 1- \frac{6\cdot\sum_{i=1}^{n}{d_i}^2} {n\cdot(n^2-1)}</math>

Die notwendigen Informationen lassen sich aus der Tabelle entnehmen:

<math>d</math> ergibt sich als Differenz zwischen den beiden [[Variable]]n <math>x</math> und <math>y</math>. 

<math>n</math> ist die Anzahl der platzierten Sportler (= 20). 

Die Berechnung des [[Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient|Spearman'schen Rangkorrelationskoeffizienten]] ergibt einen Wert von 0,6617, was einen positiven Zusammenhang zwischen den Platzierungen in beiden Disziplinen impliziert. 

Gute Sportler über 100 Meter erreichen also auch über 200 Meter gute Platzierungen.

Für die Berechnung des Kendall'schen Rangkorrelationskoeffizienten müssen die Paare der
[[Konkordante Merkmalspaare|konkordanten]] und [[Diskordante Merkmalspaare|diskordanten Paare]] ermittelt werden. 

Zwei Paare heißen [[Konkordante Merkmalspaare|konkordant]], wenn bezüglich beider [[Merkmal]]e die gleiche Ordnungsrelation vorliegt und [[Diskordante Merkmalspaare|diskordant]], wenn eine verschiedene Ordnungsrelation vorliegt.

Für das Paar Sportler 1 und Sportler 2 liegt beispielsweise [[Konkordante Merkmalspaare|Konkordanz]] vor: Sportler 1 erreicht sowohl im 100 Meter-Lauf als auch im 200 Meter-Lauf eine bessere Platzierung. 

Anders dagegen beim Vergleich von Sportler 1 mit Sportler 5: Sportler 1 erreicht über 100 Meter eine schlechtere, über 200 Meter aber eine bessere Platzierung - es liegt eine [[Diskordante Merkmalspaare|Diskordanz]] vor. 
 
Insgesamt ergeben sich für dieses Beispiel <math>0,5 \cdot n \cdot (n-1) = 190</math> verschiedene Paare, davon sind 138 Paare [[Konkordante Merkmalspaare|konkordant]], 52 Paare [[Diskordante Merkmalspaare|diskordant]]. 

Mit Kenntnis dieser Zahlen lässt sich der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient errechnen:

<math>\tau = \frac {P-Q}{P+Q}, \ \mbox{mit} \ Q=\sum_i q_i \ \mbox{und} \ P=\sum_i p_i</math>

Dabei stellt <math>P</math> die Anzahl der [[Konkordante Merkmalspaare|konkordanten Paare]] und <math>Q</math> die Anzahl der [[Diskordante Merkmalspaare|diskordanten Paare]] dar. 

Der Kendall'sche Rangkorrelationskoeffizient beträgt für das obige Beispiel <math>0,4526</math>, was auch hier auf einen positiven Zusammenhang hinweist.