Geometrisches Mittel: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 14. Mai 2018, 22:23 Uhr

Grundbegriffe der Statistik

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Grundbegriffe

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel wird zur Berechnung des Mittelwertes bei (mindestens) verhältnisskalierten positiven Merkmalen wie z.B. Wachstumsraten angewendet, deren Merkmalswerte multiplikativ miteinander verknüpft sind.

 \bar{x}_{G} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot\ldots\cdot x_{n}}

Wachstumsrate

 x_{0} ,  x_{1} ,  \ldots ,  x_{n} seien zeitlich geordnete Beobachtungswerte von einem Basiszeitraum 0 bis zu einem Berichtszeitraum n.

Die jeweilige Wachstumsrate i_{t} läßt sich berechnen durch:

 i_{t} = x_{t}/x_{t-1}
 i_{1} \cdot i_{2} \cdot\ldots\cdot i_{n} = x_{n} / x_{0}

Mittlere Wachstumsrate

Das Produkt über alle Wachstumsraten entspricht dem Gesamtwachstum vom Basiszeitraum 0 bis zum Berichtszeitraum n.

Die mittlere Wachstumsrate ergibt sich als geometrisches Mittel der Wachstumsraten der einzelnen Zeiträume:

 \bar{\imath}_{G}=\sqrt[n]{\,\,i_{1}\cdot i_{2}\cdot\ldots\cdot i_{n}}=\sqrt[n]{\frac{x_{n}}{x_{0}}}

Prognosewert

Ausgehend von der mittleren Wachstumsrate und dem Beobachtungswert im Berichtszeitraum n lässt sich ein Prognosewert für den Zeitpunkt n+T berechnen.

 x_{n+T}^{\star}=x_{n}\cdot(\bar{\imath}_{G})^{T}

Die Auflösung der obigen Gleichung nach T ergibt eine Formel zur Bestimmung der Zeitdauer bis zum Erreichen eines bestimmten Beobachtungswertes in der Zukunft  x_{n+T}

 T=\frac{\log(x_{n+T})-\log(x_{n})}{\log(\bar{\imath}_{G})}

Zusatzinformationen

Beziehung zum arithmetischen Mittel

Der Logarithmus des geometrischen Mittels entspricht dem arithmetischen Mittel der Logarithmen der Beobachtungswerte.

 \log\bar{x}_{G} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \log x_{i}

Beispiele

Bruttosozialprodukt (BSP)

Bruttosozialprodukt (BSP) der Bundesrepublik Deutschland in Preisen von 1985 (Mrd. DM)

Jahr t BSP  x_{t}  i_{t}
1980 0 1733.8 -
1981 1 1735.7 1.0011
1982 2 1716.5 0.9889
1983 3 1748.4 1.0186
1984 4 1802.0 1.0307
1985 5 1834.5 1.0180
1986 6 1874.4 1.0217
1987 7 1902.3 1.0149
1988 8 1971.8 1.0365

Berechnet wird im folgenden

  • der Mittelwert (geometrisches Mittel)
  • der Prognosewert für das Jahr 1990
  • der Zeitpunkt, zu dem das BSP einen Wert von 2500 erreicht.

 \bar{\imath}_{G}=\sqrt[8]{\frac{1971.8}{1733.8}}=1.0162

 x_{1990}^{\star}=1971.8\cdot1.0162^{2}=2036.2\,\mbox{Bil. DM}

 T=\frac{\log(2500)-\log(1971.8)}{\log(1.0162)}=14.77\,\mbox{years.}

Der Wert des BSP von 2500 wird für das Jahr  1988 + 15 = 2003 prognostiziert.

Deutscher Aktienindex (DAX)

Der Deutsche Aktienindex (DAX) hat sich in den Jahren 1990 bis 1997 gegenüber dem Vorjahr prozentual wie folgt geändert:

Jahr 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
DAX -Wert [Jahresende) 1791 1399 1579 1546 2268 2107 2254 2889 4250
DAX-Änderung -21.9% 12.9% -2.1% 46.7% -7.1% 7% 28% 47.1%

Gesucht ist die durchschnittliche jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997.

Die Anwendung des arithmetischen Mittels führt, wie im Folgenden dargestellt, zu einem falschen Ergebnis:

 \bar{x}=((-21.9)+(+12.9)+(-2.1)+(+46.7)+(-7.1)+(+7.0)+(+28.2)+(+47.1))/8=110.80/8=13.85%

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990 1791  \cdot 1,1385 = 2093
1991 2093  \cdot 1,1385 = 2383
 \dots \dots
1997 4440  \cdot 1,1385 = 5055

Dieser DAX-Wert von 5055 liegt weit über dem tatsächlichen von 4250.

Den richtigen Mittelwert stellt in diesem Fall, da es sich um Wachstumsraten handelt, das geometrische Mittel dar.

Der DAX-Wert von 1990 läßt sich ausgehend vom 1989-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

 \mbox{DAX}_{1990}=(1+(-0.219))\cdot\mbox{ DAX}_{1989}=(1+(-0.219))\cdot1791=0.781\cdot1791=1399

Analog läßt sich der DAX-Wert von 1991 ausgehend vom 1990-er Wert und der relativen Änderung wie folgt berechnen:

 \mbox{DAX}_{1991}=(1+0.129) \cdot \mbox{ DAX}_{1990}=(1+0.129)) \cdot 1399 = 1.129 \cdot 1399=1579

Es liegt eine multiplikative Verknüpfung vor. Das geometrische Mittel trägt diesem Umstand Rechnung:

 \begin{matrix}
X_{G} & = & \sqrt[8]{0.781 \cdot 1.129 \cdot 0.979 \cdot 1.467 \cdot 0.929 \cdot 1.070 \cdot 1.282 \cdot 1.417} \\
 \ & = & 1.1141 \end{matrix}

Die mittlere jährliche Änderungsrate des DAX in den Jahren 1990 bis 1997 beträgt 11.41%.

Wird diese "durchschnittliche jährliche Änderungsrate" zur Fortschreibung des DAX ausgehend von 1989 angewendet, ergibt sich für 1997 folgender Wert:

1990 1791  \cdot 1,1141 =1995
1991 1995  \cdot 1,1141 =2223
 \dots  \dots
1997 3815  \cdot 1,1141 =4250

Wie die Tabelle der Ausgangswerte zeigt, entspricht dieser errechnete DAX-Wert dem wahren Wert von 1997.

Wird die errechnete durchschnittliche jährliche Änderungsrate der Jahre 1990 bis 1997 als Grundlage für eine Schätzung des DAX-Wertes am Jahresende 1999 angewendet, ergibt sich ein prognostizierter Wert von:

 \mbox{DAX}_{1999}=\mbox{ DAX}_{1997}\cdot1.1141\cdot1.1141=4250\cdot1.1141^{2}=5275