Gütefunktion

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Gütefunktion oder Macht eines Tests

Die Wahrscheinlichkeit der Ablehnung der Nullhypothese in Abhängigkeit von allen unter der Null- und Alternativhypothese zulässigen Parameterwerten wird als Gütefunktion oder Macht eines Tests bezeichnet und mit G(\vartheta) symbolisiert:

G(\vartheta) = P\left(V\mbox{ ist Element des Ablehnungsbereiches der }H_{0}\;|\;\vartheta \right) =P\left(H_{1}|\vartheta \right)

Gehört der wahre Parameterwert \vartheta zu den zulässigen Parameterwerten unter der Alternativhypothese H_{1}, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine richtige Entscheidung getroffen (\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{1}).

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Ablehnung der Nullhypothese (berechtigte Annahme der Alternativhypothese) an:

G(\vartheta) = P\left( H_{1}|H_{1}\right) = 1-\beta\left( \vartheta \right)\quad für alle \vartheta Element von  \theta_{1},

wobei \theta_{1} den Parameterraum unter H_{1} bezeichnet.

Gehört der wahre Parameterwert \vartheta zu den zulässigen Parameterwerten unter der Nullhypothese H_{0}, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine falsche Entscheidung getroffen (\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}).

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art an:

G(\vartheta) = P\left(H_{1}|H_{0}\right) \leq \alpha für alle \vartheta Element von  \theta_{0},

wobei \theta_{0} den Parameterraum unter H_{0} bezeichnet.

Operationscharakteristik (OC-Kurve)

Mittels der Gütefunktion kann die Trennschärfe eines Tests beurteilt werden, d.h. die Fähigkeit, eine falsche Nullhypothese zuverlässig aufzudecken.

1 - G(\vartheta) wird als Operationscharakteristik (OC - Kurve) eines Tests bezeichnet und gibt in Abhängigkeit von \vartheta die Wahrscheinlichkeit für die Nichtablehnung der Nullhypothese an:

1 - G(\vartheta)=P(\mbox{V ist Element des Nichtablehnungsbereiches der }H_{0}|\vartheta)= P({H}_{0}|\vartheta)

Gehört der wahre Parameterwert \vartheta zu den zulässigen Parameterwerten unter der Alternativhypothese H_{1}, so wurde im Ergebnis der Testdurchführung eine falsche Entscheidung getroffen (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}).

Die Operationscharakteristik gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art an:

1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{1}) = \beta (\vartheta) für alle \vartheta Element von  \theta_{1},

Gehört der wahre Parameterwert \vartheta zu den zulässigen Parameterwerten unter der Nullhypothese H_{0}, so wurde eine richtige Entscheidung getroffen (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{0}).

Die Gütefunktion gibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit für die berechtigte Beibehaltung der H_{0} an:

1 - G(\vartheta) = P(H_{0}|H_{0})\geq 1 - \alpha für alle \vartheta Element von  \theta_{0},

Zusatzinformationen

Der Verlauf der Gütefunktion bzw. der Operationscharakteristik hängt