F-Verteilung

Grundbegriffe

F-Verteilung

Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsvariablen $Y_{1}{\mbox{ und }}Y_{2}$, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind mit $f_{1}{\mbox{ bzw. }}f_{2}$ Freiheitsgraden.

Dann heißt die Verteilung der Zufallsvariablen

$X={\cfrac {\cfrac {Y_{1}}{f_{1}}}{\cfrac {Y_{2}}{f_{2}}}}$

F-Verteilung mit den Parametern $f_{1}$ und $f_{2}$ oder kurz $F(f_{1},f_{2})$.

Die Parameter sind die Anzahl der Freiheitsgrade $f_{1}$ der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Zählers und die Anzahl der Freiheitsgrade $f_{2}$ der Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariable des Nenners.

Der Wertebereich ist $X>0$.

Für eine Zufallsvariable $X$, die F-verteilt mit den Parametern $f_{1}$ und $f_{2}$ ist, gilt:

$E[X]={\frac {f_{2}}{f_{2}-2}},$	${\mbox{für}}\ f_{2}>2$
$Var(X)={\frac {2\cdot f_{2}^{2}\cdot (f_{1}+f_{2}-2)}{f_{1}\cdot (f_{2}-2)^{2}\cdot (f_{2}-4)}},$	${\mbox{für}}\ f_{2}>4$

Die Verteilungsfunktion der F-Verteilung liegt für ausgewählte Wahrscheinlichkeiten und ausgewählte Werte der Parameter $f_{1}$ und $f_{2}$ tabelliert vor.

Zusatzinformationen

Graphische Darstellung der F-Verteilung

Die Dichtefunktion der F-Verteilung ist rechtsschief. Für wachsende Werte von $f_{1}$ und $f_{2}$ nimmt die Schiefe jedoch ab.

Für $f_{1}\rightarrow \infty$ und $f_{2}\rightarrow \infty$ strebt die Dichte der F-Verteilung gegen die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.

Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktionen der F-Verteilung für ausgewählte Freiheitsgrade $f_{1}{\mbox{ und }}f_{2}$.