Entscheidungsbereiche

Grundbegriffe

Entscheidungsbereiche

Da die Teststatistik $V\;$ eine Zufallsvariable ist, kann sie verschiedene mögliche Werte annehmen.

Ergibt sich aufgrund einer konkreten Stichprobe ein Prüfwert $v$, der recht nahe beim hypothetischen Wert $\theta_{0}$ liegt, so kann die Abweichung zwischen $v$ und $\theta_{0}$ als zufällig angesehen werden. Die Nullhypothese wird in diesem Fall nicht abgelehnt.

Allerdings bedeutet dies nicht, dass die Nullhypothese richtig ist, d.h. $\theta_{0}$ tatsächlich der wahre Parameterwert ist.

Es besagt lediglich, dass das Stichprobenergebnis nicht gegen die Tatsache spricht, dass die Teststatistik $V\;$ einer Verteilung mit dem Parameter $\theta_{0}$ folgt.

Ergibt sich aufgrund einer konkreten Stichprobe ein Prüfwert $v$ mit einer relativ großen Abweichung vom hypothetischen Wert $\theta_{0}$, so ist $v$ ein für die Gültigkeit der Nullhypothese unplausibler Wert. Ein solcher Wert $v$ kommt eher unter der Alternativhypothese zustande, so dass die Nullhypothese abgelehnt werden kann.

Es kann davon ausgegangen werden, dass die Teststatistik $V\;$ einer Verteilung mit einem Parameterwert verschieden von $\theta_{0}$ folgt.

Allerdings bedeutet dies nicht, dass die Nullhypothese tatsächlich falsch sein muss, denn ein Prüfwert $v$ mit einer großen Abweichung vom hypothetischen Wert $\theta_{0}$ ist bei Gültigkeit der Nullhypothese zwar unplausibel, jedoch nicht unmöglich.

Entsprechend diesen Überlegungen wird die Menge der Realisationen der Teststatistik $V\;$ in zwei Entscheidungsbereiche unterteilt, je nachdem ob die Realisationen bei Gültigkeit der Nullhypothese zu erwarten oder ob sie unplausibel sind.

Man unterscheidet hierbei zwischen Nichtablehnungs- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

Nichtablehnungs- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese

Der Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese $H_{0}$ entspricht der Menge der Realisationen der Teststatistik $V\;$, bei denen man sich für die Beibehaltung von $H_{0}$ entscheidet.

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese $H_{0}$ entspricht der Menge der Realisationen der Teststatistik $V\;$, bei denen man sich für die Ablehnung von $H_{0}$ entscheidet.

Nichtablehnungsbereich und Ablehnungsbereich sind komplementär.

Kritischer Wert

Die Werte, die Nichtablehnungs- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese voneinander trennen, werden als kritische Werte bezeichnet und gehören selbst zum Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$.

Diese kritischen Werte müssen nunmehr numerisch festgelegt werden, womit die Entscheidung verbunden ist, wo die Grenze zwischen plausiblen und unplausiblen Realisationen der Teststatistik $V\;$ bei Gültigkeit der Nullhypothese zu ziehen ist.

Diese Entscheidung wird über die Festlegung einer Wahrscheinlichkeit getroffen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Gültigkeit der Nullhypothese die Teststatistik $V\;$ Realisationen im Ablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, soll nicht größer als ein vorgegebenes $\alpha$ sein:

$P(V \mbox{ ist Element des Ablehnungsbereiches der } H_{0}|\theta_{0})\leq \alpha$

Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Gültigkeit der Nullhypothese die Teststatistik $V\;$ Realisationen im Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ annimmt, mindestens $1-\alpha$:

$P(V \mbox{ ist Element des Nichtablehnungsbereiches der } H_{0}|\theta_{0})\geq 1-\alpha$

Mittels der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit $\alpha$ können aus der Verteilungsfunktion $F(v|H_{0})$ der Teststatistik $V\;$ die kritischen Werte bestimmt werden.

Dazu muss jedoch die Verteilung von $V\;$ unter der Annahme der Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ (zumindest approximativ) bekannt sein.

Signifikanzniveau

Da mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ festgelegt wird, ob die Stichprobe eine signifikante Abweichung von der Nullhypothese liefert, wird sie als Signifikanzniveau bezeichnet.

Das Signifikanzniveau $\alpha$ wird im Allgemeinen klein gewählt (je nach Problemstellung zwischen 0,01 und 0,10), damit die Nullhypothese erst dann verworfen wird, wenn das Stichprobenergebnis stark gegen sie spricht.

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$ und vorgegebenem Signifikanzniveau $\alpha$.