Einstichproben-t-Test

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Einstichproben-t-Test

Der Einstichproben-t-Test ist ein Test auf Mittelwert, wobei die Standardabweichung \sigma des Stichprobenmittelwertes \bar{X} als unbekannt vorrausgesetzt wird.

Im Folgenden gelten alle Voraussetzungen wie unter "Test auf Mittelwert" diskutiert.

Teststatistik des Einstichproben-t-Tests

In der standardisierten Zufallsvariablen

V=\frac{\bar{X}-\mu _{0}}{\sigma }\cdot\sqrt{n}

ist nunmehr \sigma unbekannt und muss durch eine Schätzung aus der Stichprobe ersetzt werden.

Eine erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz \sigma^{2} der Grundgesamtheit ist

S^{2} =\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1}

Als Teststatistik wird somit

V=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S}\cdot \sqrt{n}

verwendet.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0} ist V\; (zumindest approximativ) t-verteilt mit f=n-1 Freiheitsgraden (vgl. dazu den Abschnitt "Verteilung des Stichprobenmittelwertes").

Für das vorgegebene Signifikanzniveau \alpha und die Anzahl der Freiheitsgrade f = n - 1 können die kritischen Werte aus der Tabelle der t-Verteilung entnommen werden.

Entscheidungsbereiche des Einstichproben-t-Tests

Für die einzelnen Testmöglichkeiten erhält man die nachstehenden Entscheidungsbereiche bei Gültigkeit der Nullhypothese H_{0}

Zweiseitiger Test

Ablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{v|v<-t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\mbox{ oder }v>t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\right\}

Nichtablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{ v|-t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\leq v\leq t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}\right\}

Rechtsseitiger Test

Ablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{v|v>t_{1-\alpha ;n-1}\right\}

Nichtablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{v|v\leq t_{1-\alpha ;n-1}\right\}

Linksseitiger Test

Ablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{v|v<-t_{1-\alpha ;n-1}\right\}

Nichtablehnungsbereich der H_{0}:

\left\{v|v\geq -t_{1-\alpha ;n-1}\right\}

Prüfwert des Einstichproben-t-Tests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang n gezogen wurde, liegen die konkreten Stichprobenwerte x_{1},\ldots ,x_{n} vor und der Schätzwert \bar{x} für den Stichprobenmittelwert und der Schätzwert s für die Standardabweichung können berechnet werden:

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\; x_{i}

s =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n-1}}

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert:

v=\frac{\bar{x}-\mu _{0}}{s}\cdot\sqrt{n}

Entscheidungssituationen des Einstichproben-t-Tests

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit nicht gleich dem hypothetischen Wert \mu _{0} ist.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art (\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau \alpha.
Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, H_{0} zu verwerfen:
Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass der wahre Erwartungswert E[X] = \mu in der Grundgesamtheit vom hypothetischen Wert \mu_{0} abweicht.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art (\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}) zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist im Allgemeinen nicht bekannt und kann nur für konkrete Alternativwerte \mu_{1} berechnet werden.

Zusatzinformationen

Approximation durch Gauß-Test

Bei genügend großem Stichprobenumfang n\; (n \geq 30) ist aufgrund der Wirksamkeit des Zentralen Grenzwertsatzes die Teststatistik V\; unter H_{0} approximativ N(0; 1) - verteilt.

Es können dann näherungsweise die kritischen Werte aus der N(0; 1) entnommen und die entsprechenden Entscheidungsbereiche des Gauß-Tests (\sigma ist bekannt) verwendet werden.