Einseitiger Test

Grundbegriffe

Einseitige Tests

Bei einseitigen Tests gibt es einen Ablehnungsbereich, da zu große Abweichungen der Teststatistik $V\;$ vom hypothetischen Wert $\theta_{0}$ nur in eine Richtung gegen die Nullhypothese sprechen.

Der kritische Wert wird mit $c$ symbolisiert.

Linksseitiger Test

• Null- und Alternativhypothese:

$H_{0}:\theta \geq \theta _{0}\qquad H_{1}:\theta <\theta _{0}$

• Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die kleiner als der kritische Wert $c$ sind:

$\left\{v\,|\;v<c\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich zu erhalten, ist höchstens so groß wie das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$:

$P\left\{V<c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\leq \alpha$

• Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

Der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die größer bzw. gleich dem kritischen Wert $c$ sind:

$\left\{v\;|\;v\geq c\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich zu erhalten, ist mindestens $1-\alpha$:

$P\left\{V\geq c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\geq 1-\alpha$

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-4, to=4, dnorm(x, mean=0, sd=1), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 1: Verteilung der Teststatistik V unter H_0 und Entscheidungsbereiche (Links. Test)") abline(v=-2, col="black", lwd=2) abline(v=0.0, col="black", lwd=4, lty=2) text(0, 0.15, expression(paste("1-" , alpha)), col = "black", cex=2.5) text(-2.3, 0.01, expression(paste(alpha)), col = "black", cex=1.2) axis( side=1, at=c(-2, 0, 4), labels=c(expression(C), expression(theta[0]), "V"), tick=FALSE) axis( side=2, at=c(0.39), labels=c("f(V)"), tick=FALSE) </R>

Ablehnungsbereich der $H_{0}$ | Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$

Rechtsseitiger Test

• Null- und Alternativhypothese:

$H_{0}:\vartheta \leq \vartheta_{0} \qquad H_{1}: \vartheta > \vartheta_{0}$

• Ablehnungsbereich der $H_{0}$:

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die größer als der kritische Wert $c$ sind:

$\left\{v\;|\;v>c\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich zu erhalten, ist höchstens so groß wie das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$:

$P\left\{V>c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\leq\alpha$

• Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$:

Der Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ besteht aus allen Realisationen $v$ der Teststatistik $V\;$, die kleiner bzw. gleich dem kritischen Wert $c$ sind:

$\left\{v\;|\;v\leq c\right\}$

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich zu erhalten, ist mindestens $1-\alpha$:

$P\left\{V\leq c\;|\;\vartheta _{0}\right\}\geq 1-\alpha$

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7,height=7) curve(from=-4, to=4, dnorm(x, mean=0, sd=1), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.4), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 2: Verteilung der Teststatistik V unter H_0 und Entscheidungsbereiche (rechts. Test)") abline(v=2, col="black", lwd=2) abline(v=0.0, col="black", lwd=4, lty=2) text(0, 0.15, expression(paste("1-" , alpha)), col = "black", cex=2.5) text(2.3, 0.01, expression(alpha), col = "black", cex=1.2) axis( side=1, at=c(0, 2, 4), c(expression(theta[0]), expression(C), "V"), tick=FALSE) axis( side=2, at=c(0.39), labels=c("f(V)"), tick=FALSE) </R>

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ | Ablehnungsbereich der $H_{0}$

Beispiele

Testentscheidungen bei einem rechtsseitigen Test

Zur Veranschaulichung sei angenommen, dass

• ein rechtsseitiger Test für einen Parameter $\vartheta$ durchgeführt wird: $H_{0}: \vartheta \leq \vartheta_{0}$ und $H_1: \vartheta > \vartheta_{0}$
• die Teststatistik $V\;$ bei Gültigkeit der Nullhypothese standardnormalverteilt ist.

Der Ablehnungsbereich der $H_{0}$ wird dann durch alle Werte der Teststatistik $V\;$ gebildet, für die $\{v|v>c\}$ gilt.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich der $H_{0}$ zu erhalten, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha = P(V > c |\vartheta_{0})$ und ist in der folgenden Abb. 3 durch die grüne Fläche gekennzeichnet.

Abb. 1: Verteilung der Teststatistik $V$ unter $H_0$ und Entscheidungsbereiche (Linkseitiger Test)

Die Testentscheidung ist wie folgt: Ist der aus der Stichprobe berechnete Prüfwert ein Element des Ablehnungsbereiches der $H_{0}$, so wird die Nullhypothese auf dem vorgegebenen Signifikanzniveau und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang $n$ verworfen.

Andernfalls besteht keine Veranlassung, $H_{0}$ abzulehnen. Die Testentscheidung basiert somit auf einem Vergleich des Prüfwertes $v$ mit den Entscheidungsbereichen.

Bei Verwendung statistischer Software (z.B. R, STATA, SPSS, Matlab) wird ebenfalls der Prüfwert $v$ auf der Grundlage der Stichprobe berechnet und im Output ausgewiesen.

Zusätzlich wird die Überschreitungswahrscheinlichkeit dieses Prüfwertes $v$ ausgegeben, d.h. die Wahrscheinlichkeit $P(V > v | \vartheta_{0})$, dass die Teststatistik $V\;$ einen Wert annimmt, der größer als dieser berechnete Prüfwert $v$ ist (bei Gültigkeit der Nullhypothese $H_{0}$).

Diese Überschreitungswahrscheinlichkeit wird im Output statistischer Software sehr unterschiedlich bezeichnet (z.B. als Significance, p-value, 1-tailed P bzw. 1-tailed Sig beim einseitigen Test bzw. 2-tailed P bzw. 2-tailed Sig beim zweiseitigen Test).

Hier sei das Symbol $P$ verwendet, so dass $P = P(V > v | \vartheta_{0})$ gilt. Abb. 4 veranschaulicht diese Überschreitungswahrscheinlichkeit durch die himmelblaue Fläche.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-40, to=40, dnorm(x, mean=0, sd=10), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 4: \u00DCberschreitungswahrscheinlichkeit bei G\u00FCltigkeit der H_0") par(new=TRUE) xx1 <-c(20:40, 40:20) yy1 <-c(c(dnorm(c(20:40), mean=0, sd=10)),c(rep(0,21))) polygon(xx1, yy1, col="aquamarine", border=NA) par(new=TRUE) curve(from=-40, to=40, dnorm(x, mean=0, sd=10), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l") abline(v=20, col="black", lwd=3, lty=2) text(22.5, 0.0014, expression(P), col = "black", cex=1.5) axis( side=1, at=c(20), labels=c("v"), tick=FALSE) axis( side=2, at=c(0.039), labels=c("f(v)"), tick=FALSE) </R>

Der Nutzer der Software braucht nun nicht erst zu Tabellen der entsprechenden Verteilung der Teststatistik $V\;$ greifen, um den bzw. die kritischen Werte und damit die Entscheidungsbereiche des Tests zu ermitteln.

Im Output sind alle notwendigen Informationen für die Testentscheidung enthalten, die nunmehr auf dem Vergleich des vorgegebenen Signifikanzniveaus $\alpha$ und der Überschreitungswahrscheinlichkeit $P$ beruht.

Das sei wie folgt gezeigt.

• Ablehnung der Nullhypothese $H_{0}$

Ergibt sich aufgrund einer konkreten Stichprobe ein Prüfwert $v$, der weit von $\vartheta_{0}$ entfernt liegt, dann ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit $P = P(V > v | \vartheta_{0})$ unter der Verteilung von $H_{0}$ sehr klein.

$v$ ist ein für die Gültigkeit der Nullhypothese extremer Wert und die Nullhypothese erscheint unplausibel.

Ein solcher Wert $v$ kommt eher unter der Alternativhypothese zustande, so dass auf einen signifikanten Unterschied zwischen $\vartheta_{0}$ und $\vartheta$ geschlossen wird, d.h. die Nullhypothese abgelehnt wird.

Entscheidungsregel:

Erhält man im Output der Software eine Überschreitungswahrscheinlichkeit, für die $P\leq\alpha$ gilt, impliziert dies, dass der Prüfwert $v$ ein Element des Ablehnungsbereiches der $H_{0}$ zum vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$ ist. Die Nullhypothese wird abgelehnt.

Bei dem hier demonstrierten rechtsseitigen Test wird diese Entscheidungsregel in der Abb. 5 deutlich.

<R output="display"> pdf(rpdf, width=7,height=7) curve(from=-40, to=40, dnorm(x, mean=0, sd=10), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 5: Signifikanzniveau und \u00DCberschreitungswahrscheinlichkeit bei G\u00FCltigkeit der H_0") abline(v=22, col="black", lwd=3, lty=2) text(23.75, 0.0012, expression(P), col = "black", cex=1.2) abline(v=18, col="black", lwd=3) text(20, 0.0018, expression(alpha), col = "black", cex=1.7) axis( side=1, at=c(22, 18), labels=c("v", "c"), tick=FALSE) axis( side=2, at=c(0.039), labels=c("f(v)"), tick=FALSE) </R>

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ | Ablehnungsbereich der $H_{0}$

• b) Nichtablehnung der Nullhypothese

Ergibt sich aufgrund einer konkreten Stichprobe ein Prüfwert $v$, der relativ nahe bei $\vartheta_{0}$ liegt, dann ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit $P = P(V > v |\vartheta_{0})$ unter der Verteilung von $H_{0}$ groß.

$v$ ist ein für die Gültigkeit der Nullhypothese plausibler Wert, die Abweichung zwischen $v$ und $\vartheta_{0}$ kann als zufällig angesehen werden. Die Nullhypothese wird in diesem Fall nicht abgelehnt.

Entscheidungsregel:

Ist $P > \alpha$, impliziert dies, dass der Prüfwert $v$ ein Element des Nichtablehnungsbereiches der $H_{0}$ ist. Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt.

<R output="display"> pdf(rpdf,width=7,height=7) curve(from=-40, to=40, dnorm(x, mean=0, sd=10), xaxt="n", yaxt="n",ylab="", xlab="", col="red", ylim=c(0.0,0.04), lty=1, lwd=4, font.lab=2, "xaxs"="i" ,"yaxs"="i", bty="l", sub="Abb. 6: Signifikanzniveau und \u00DCberschreitungswahrscheinlichkeit bei G\u00FCltigkeit der H_0") abline(v=17, col="black", lwd=3, lty=2) text(18.5, 0.0018, expression(P), col = "black", cex=1.2) abline(v=21, col="black", lwd=3) text(23, 0.0014, expression(alpha), col = "black", cex=1.7) axis( side=1, at=c(17, 21), labels=c("v", "c"), tick=FALSE) axis( side=2, at=c(0.039), labels=c("f(v)"), tick=FALSE) </R>

Nichtablehnungsbereich der $H_{0}$ | Ablehnungsbereich der $H_{0}$

Mit den gleichen Regeln sind die Testentscheidungen bei einem linksseitigen Test bzw. einem zweiseitigen Test zu treffen.