Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Unterschied zwischen den Versionen

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==Grundbegriffe==
 
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===Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest===
 
===Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest===
  
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Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}| H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.
 
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 2. Art]] <math>(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}| H_{1})</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Alternativhypothese]] richtig ist.
 
==Zusatzinformationen==
 
 
===Herleitung des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests===
 
 
====Hypothesen====
 
 
Die generelle Vorgehensweise bei Unabhängigkeitstests ist im Prinzip wie bei den [[Parametertest]]s. Es wird eine [[Teststatistik]]
 
konstruiert, die die Informationen bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] sowie die Informationen aus der [[Zufallsstichprobe]] enthält und auf deren Basis eine Aussage über die [[Nullhypothese]] möglich ist.
 
 
Die Verteilung der [[Teststatistik]] muss unter der [[Nullhypothese]] (zumindest [[Approximation|approximativ]]) bekannt sein.
 
 
Auch bei Unabhängigkeitstests wird stets die [[Nullhypothese]] [[Statistik|statistisch]] geprüft und in Abhängigkeit von der Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P\left(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_{0}\right)=\alpha</math> bzw. einen [[Fehler 2. Art]] mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math>P\left(\mbox{''}H_{0}\mbox{''}|H_{1}\right)=\beta</math> zu begehen.
 
 
Mit dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] kann die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 1. Art|Fehlers 1. Art]] niedrig gehalten werden; die [[Wahrscheinlichkeit]] eines [[Fehler 2. Art|Fehlers 2. Art]] ist dagegen in der Regel nicht bekannt.
 
 
Man wird deshalb bestrebt sein, die [[Nullhypothese]] abzulehnen, da dann die [[Statistik|statistische]] Sicherheit einer Fehlentscheidung bekannt ist.
 
 
Wenn die [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> in der [[Grundgesamtheit]] wirklich [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] sind, dann ist zu erwarten, dass diese Tatsache im Prinzip auch in der [[Stichprobe]] zu beobachten ist.
 
 
Im Prinzip bedeutet dabei, dass Abweichungen zwischen den beobachteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{kj}</math> und den bei [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] erwarteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>e_{kj}</math> in der Regel immer auftreten werden.
 
 
Zu entscheiden ist, ob die Abweichungen noch zufallsbedingt sind oder ob es sich um signifikante Abweichungen handelt.
 
 
Da stets die [[Nullhypothese]] [[Statistik|statistisch]] geprüft wird, muss die [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] zwischen <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> immer als <math>H_{0}</math> formuliert werden, um die erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] ermitteln zu können.
 
 
Große Abweichungen zwischen beobachteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>h_{kj}</math> und den bei [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] erwarteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] <math>e_{kj}</math> sprechen tendenziell gegen die [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]], d.h. man wird die [[Nullhypothese]] ablehnen.
 
 
Das dem Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest zugrunde liegende [[Hypothese]]npaar enthält die [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{kj}</math>, <math>p_{k\bullet }</math>, und <math>p_{\bullet j}</math> <math>(k=1,\ldots ,K;\;j=1,\ldots J)</math>.
 
 
Sind <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> [[diskrete Zufallsvariable]]n, beinhalten diese [[Wahrscheinlichkeit]]en, dass <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> genau eine mögliche [[Realisation]] annehmen:
 
 
<math>p_{kj}=P\left(\left\{X=x_{k}\right\}\cap\left\{ Y=y_{j}\right\}\right)</math>
 
 
<math>p_{k\bullet }=P\left( \left\{ X=x_{k}\right\} \right),\quad p_{\bullet j}=P\left( \left\{ Y=y_{j}\right\} \right)</math>
 
 
Für eine [[stetige Zufallsvariable]] ist die [[Wahrscheinlichkeit]], dass sie einen bestimmten Wert annimmt, jedoch stets Null. Daraus folgt die Notwendigkeit einer Intervallbildung der beobachteten Werte.
 
 
Es bedeuten im [[stetige Zufallsvariable|stetigen]] Fall:
 
 
<math>p_{kj}</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left( x_{k-1}^{*},x_{k}^{*}\right)</math> und die [[Zufallsvariable]] <math>Y\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left(y_{j-1}^{*},y_{j}^{*}\right)</math> annimmt;
 
 
<math>p_{k\bullet}</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left( x_{k-1}^{*},x_{k}^{*}\right)</math> annimmt ([[Randwahrscheinlichkeit]] von <math>X\;</math>) und
 
 
<math>p_{\bullet j}</math> die [[Wahrscheinlichkeit]], dass die [[Zufallsvariable]] <math>Y\;</math> einen Wert aus der [[Klasse]] <math>\left( y_{j-1}^{*},y_{j}^{*}\right)</math> annimmt ([[Randwahrscheinlichkeit]] von <math>Y\;</math>):
 
 
<math>p_{kj}=P\left( \left\{ x_{k-1}^{*}<X\leq x_{k}^{*}\right\}\cap\left\{y_{j-1}^{*}<Y\leq y_{j}^{*}\right\}\right)</math>,
 
 
<math>p_{k\bullet}=P\left( x_{k-1}^{*}<X\leq x_{k}^{*}\right),\quad p_{\bullet j}=P\left( y_{j-1}^{*}<Y\leq y_{j}^{*}\right)</math>
 
 
Um diese Darstellung zu vereinfachen und mit dem [[Diskretes Merkmal|diskreten]] Fall zu vereinheitlichen, werden statt der [[Klasse]]n repräsentative [[Klasse]]nwerte (im Allgemeinen die [[Klassenmitte]]n) <math>x_{k},\left(k=1, \ldots K\right)</math> und <math>y_{j},\; \left( j=1, \ldots J\right)</math> verwendet. <math>K</math> und <math>J</math> sind die Anzahlen der jeweils gebildeten [[Klasse]]n.
 
 
Es sei jedoch angemerkt, dass auch für eine [[diskrete Zufallsvariable]] eine [[Klasse]]nbildung vorgenommen werden kann, falls es die Problemstellung erfordert.
 
 
====Teststatistik====
 
 
Die Tatsache, dass die beobachteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] [[Zufallsvariable]]n <math>H_{kj}\;</math> sind, lässt sich wie folgt zeigen, wobei es keine Rolle spielt, ob <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> [[diskrete Zufallsvariable|diskret]] oder [[stetige Zufallsvariable|stetig]] sind, so dass nur auf [[diskrete Zufallsvariable]]n Bezug genommen wird.
 
 
Aus der [[Grundgesamtheit]] wird ein [[Statistisches Element|Element]] zufällig gezogen und festgestellt, ob das Wertepaar <math>\left( x_{k},y_{j}\right)</math> aufgetreten ist, d.h. ob das [[Ereignis]] <math>\left\{ X=x_{k}\right\}\cap \left\{ Y=y_{j}\right\}</math> eingetreten ist oder nicht.
 
 
Es gibt somit nur zwei mögliche Ergebnisse des [[Zufallsexperiment]]es. Die [[Wahrscheinlichkeit]] für das Eintreten des [[Ereignis]]ses <math>\left\{X=x_{k}\right\} \cap \left\{ Y=y_{j}\right\}</math> ist <math>p_{kj}</math> und die [[Wahrscheinlichkeit]] für das Nichteintreten <math>1 - p_{kj}</math>.
 
 
Das [[Zufallsexperiment]] wird <math>n</math>-mal wiederholt, wobei die einzelnen Versuche [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] voneinander (da eine [[einfache Zufallsstichprobe]] vorausgesetzt wird) und damit die [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{kj}</math> konstant sind. Es liegt somit ein [[Bernoulli-Experiment]] vor.
 
 
Bei <math>n</math>-maliger Durchführung der Versuche interessiert die Gesamtzahl des Eintretens des [[Ereignis]]ses <math>\left\{ X=x_{k}\right\}\cap \left\{ Y=y_{j}\right\}</math>, d.h. die [[absolute Häufigkeit]] des Wertepaares <math>\left( x_{k},y_{j}\right)</math> in der [[Stichprobe]].
 
 
Diese Häufigkeit kann von [[Stichprobe]] zu [[Stichprobe]] unterschiedlich sein, so dass
 
 
<math>H_{kj} =\{ \mbox{Anzahl des Auftretens von } \left\{X=x_{k}\right\} \cap \left\{ Y=y_{j}\right\} \mbox{ in einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang } n\}</math>
 
 
eine [[diskrete Zufallsvariable]] ist, die die Werte <math>0,\;\ldots,\; n</math> annehmen kann.
 
 
Die [[Zufallsvariable]] <math>H_{kj}\;</math> ist [[Binomialverteilung|binomialverteilt]] mit den [[Parameter]]n <math>n</math> und <math>p_{kj}:\; H_{kj}\sim B\left( n;p_{kj}\right)</math>.
 
 
Der [[Erwartungswert]] von <math>H_{kj}\;</math> ist <math>E\left[ H_{kj}\right] =n\cdot p_{kj}</math>.
 
 
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], d.h. bei [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastischer Unabhängigkeit]] von <math>X\;</math> und <math>Y\;</math>, ergibt sich nach dem [[Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit]], dass die gemeinsame [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p_{kj}</math> das Produkt der beiden [[Randwahrscheinlichkeit]]en <math>p_{k\bullet }</math> und <math>p_{\bullet j}</math> ist, d.h. <math>p_{kj}=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}</math>.
 
 
Für die bei [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] erwarteten gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]]
 
resultiert:
 
 
<math>e_{kj}=n\cdot p_{kj}=n\cdot p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}</math>.
 
 
Diese Herleitung gilt für alle <math>k=1,\ldots ,K</math> und <math>j=1,\ldots J</math> gleichermaßen.
 
 
Die [[Teststatistik]] basiert auf dem Vergleich der in der [[Stichprobe]] beobachteten und der bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] erwarteten
 
gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]], wobei letztere wegen der unbekannten [[Wahrscheinlichkeit]]en aus der [[Stichprobe]] zu [[Schätzung|schätzen]] sind: <math>H_{kj}-\widehat{e}_{kj}</math>.
 
 
Damit sich positive und negative Abweichungen nicht aufheben, erfolgt eine Quadrierung: <math>\left( H_{kj}-\widehat{e}_{kj}\right) ^{2}</math>.
 
 
Mit der Division durch <math>\widehat{e}_{kj}</math> wird der unterschiedlichen Bedeutung der Abweichungen Rechnung getragen.
 
 
Eine Differenz <math>h_{kj}-\widehat{e}_{kj}=5</math> fällt bei <math>\widehat{e}_{kj}=10</math> stärker ins Gewicht als bei <math>\widehat{e}_{kj}=100</math>.
 
 
Durch die Summation der normierten Abweichungen über alle Paare <math>(k, j)</math> ergibt sich eine Größe für die in der [[Stichprobe]] insgesamt enthaltenen Abweichungen, die die adäquate [[Teststatistik]] darstellt:
 
 
<math>V=\sum_{k=1}^{K}\sum_{j=1}^{J}\frac{\left( H_{kj}-\widehat{e}_{kj}\right)^{2}}{\widehat{e}_{kj}}</math>
 
 
Da die <math>H_{kj}\;</math> [[Zufallsvariable]]n sind, ist auch <math>V\;</math> eine [[Zufallsvariable]].
 
 
Bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], hinreichend großem [[Stichprobenumfang]] <math>n</math> und Einhaltung der [[Approximation]]sbedingung ist die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> [[Approximation|approximativ]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] mit <math>f = (K - 1)\cdot(J - 1)</math> [[Freiheitsgrad]]en.
 
 
Ist die [[Approximation]]sbedingung nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des [[Statistischer Test|Tests]] benachbarte Werte bzw. [[Klasse]]n zusammengefasst werden, was dann auch im [[diskrete Zufallsvariable|diskreten]] Fall mit einer [[Klasse]]nbildung verbunden ist.
 
 
<math>K</math> und <math>J</math> sind die Anzahl der verbliebenen Werte bzw. [[Klasse]]n nach einer eventuell notwendigen Zusammenfassung
 
 
====Anzahl der Freiheitsgrade====
 
 
Insgesamt sind <math>K\cdot J</math> [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{kj}</math> in der [[Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung|zweidimensionalen Verteilung]] der [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> enthalten.
 
 
Ein [[Freiheitsgrad]] geht grundsätzlich verloren, weil die [[Wahrscheinlichkeit]]en untereinander nicht [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] sind.
 
 
Wegen <math>\sum\nolimits_{k}\sum\nolimits_{j}p_{kj}=1</math> folgt, dass jede [[Wahrscheinlichkeit]] <math>p_{kj}</math> durch die anderen <math>K\cdot J - 1</math> [[Wahrscheinlichkeit]]en bestimmt ist.
 
 
<math>f = K \cdot J - 1</math> wäre somit die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e, wenn sich bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] alle [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{kj}</math> aus den (bekannten) [[Randwahrscheinlichkeit]]en gemäß <math>p_{kj}=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}</math> bestimmen ließen.
 
 
Die [[Randwahrscheinlichkeit]]en <math>p_{k\bullet }</math> und <math>p_{\bullet j}</math> sind jedoch unbekannt und müssen aus der [[Stichprobe]] [[Schätzung|geschätzt]] werden, wodurch sich die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e weiter verringert.
 
 
Die [[Randverteilung]] von <math>X\;</math> enthält <math>K</math> [[Randwahrscheinlichkeit]]en <math>p_{k\bullet }</math>. Wegen <math>\sum\nolimits_{k}p_{k\bullet }=1</math> sind nur <math>K - 1</math> [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{k\bullet }</math> unbekannt und zu [[Schätzung|schätzen]].
 
 
Die [[Randverteilung]] von <math>Y\;</math> enthält <math>J</math> [[Randwahrscheinlichkeit]]en <math>p_{\bullet j }</math>. Wegen <math>\sum_{j}p_{\bullet j}=1</math> sind nur <math>J - 1</math> [[Wahrscheinlichkeit]]en <math>p_{\bullet j}</math> unbekannt und zu [[Schätzung|schätzen]].
 
 
Insgesamt sind damit <math>(K-1)+(J-1)</math> [[Randwahrscheinlichkeit]]en aus der [[Stichprobe]] zu [[Schätzung|schätzen]]. Somit folgt für die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e:
 
 
<math>f=K\cdot J-1-\left[ \left( K-1\right) +\left( J-1\right) \right]=K\cdot J-K-J+1=\left( K-1\right) \cdot \left( J-1\right)</math>
 
 
Da in der [[Teststatistik]] die Terme <math>\frac{\left(H_{kj}-\widehat{e}_{kj}\right)^{2}}{\widehat{e}_{kj}}</math> nur positive Werte annehmen können, nimmt die [[Teststatistik]] <math>V\;</math> ebenfalls nur positive Werte an.
 
 
Große Abweichungen <math>H_{kj}-\widehat{e}_{kj}</math> führen zu großen Werten von <math>V\;</math>.
 
 
Somit führen nur große Werte von <math>V\;</math> zur [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnung der <math>H_{0}</math>]], während kleine Werte von <math>V</math> nicht gegen die [[Nullhypothese]] sprechen. Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest ist somit ein [[rechtsseitiger Test]].
 
 
=={{Vorlage:Beispiele}}==
 
 
===Mängel und Alter===
 
 
Es wird vermutet, dass die Anzahl der festgestellten Mängel an einem Pkw und das Alter des Pkw [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]] sind.
 
 
Um diese Annahme zu überprüfen, wird ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> durchgeführt.
 
 
Für die [[Zufallsvariable]] <math>X\;</math>: "Anzahl der Mängel am Pkw" werden die [[Realisation]]en <math>x_{1}</math> = "kein Mangel", <math>x_{2}</math> = "1 Mangel" und <math>x_{3}</math> = "2 oder mehr Mängel" und
 
 
für die [[Zufallsvariable]] <math>Y\;</math>: "Alter des Pkw" die [[Realisation]]en <math>y_{1}</math> = "bis einschließlich 1 Jahr", <math>y_{2}</math> = "über 1 Jahr bis einschließlich 2 Jahre" und <math>y_{3}</math> = "2 Jahre oder älter" betrachtet.
 
 
Da stets die [[Nullhypothese]] [[Statistik|statistisch]]geprüft wird, muss die [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> als <math>H_{0}</math> formuliert werden, um die gemeinsamen erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] ermitteln zu können, so dass das [[Hypothese]]npaar lautet:
 
 
<math>H_{0}:</math> <math>X\;</math> und <math>Y\;</math> sind [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
<math>H_{1}:</math> <math>X\;</math>und <math>Y\;</math> sind nicht [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
bzw.
 
 
<math>H_{0}:\;p_{kj}=p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j} </math> für alle Paare <math>\left( k,j\right)</math>
 
 
<math>H_{1}:\;p_{kj}\neq p_{k\bullet }\cdot p_{\bullet j}</math> für mindestens ein Paar <math>\left(k,j\right)</math>
 
 
====Teststatistik====
 
 
Es wird die [[Teststatistik]] des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests verwendet:
 
 
<math>V=\sum_{k=1}^{K}\sum_{j=1}^{J}\frac{\left( H_{kj}-\widehat{e}_{kj}\right)^{2}}{\widehat{e}_{kj}}</math>
 
 
die bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] [[Approximation|approximativ]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]]ist mit der Anzahl der
 
[[Freiheitsgrad]]e <math>f = (K - 1)\cdot(J - 1)</math>.
 
 
Die [[Entscheidungsbereiche]] der [[Nullhypothese]] können erst nach Vorliegen der [[Stichprobe]] festgelegt werden, da
 
 
* die gemeinsamen erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] aus der [[Stichprobe]] zu [[Schätzung|schätzen]] sind,
 
 
* erst dann die [[Approximation]]sbedingung überprüft werden kann und ersichtlich ist, ob Werte bzw. [[Klasse]]n zusammenzufassen sind,
 
 
* erst danach die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e feststeht und der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] aufgesucht werden kann.
 
 
====Entscheidungsbereiche und Prüfwert====
 
 
Bei einer konkreten Polizeikontrolle an verschiedenen Straßenstellen, wobei die Auswahl der Pkw zufällig erfolgte, wurde die Anzahl der Mängel und das Alter an 110 Pkw registriert.
 
 
Die sich aus der [[Stichprobe]] ergebenden gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] und [[Randhäufigkeit]]en sind in der folgenden Tabelle enthalten.
 
 
Gleichzeitig wurden in den Zellen dieser Tabelle die [[Schätzung|geschätzt]]en gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] aufgenommen, die sich gemäß
 
 
<math>\widehat{e}_{kj}=\frac{h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}</math>
 
 
ergeben (gerundet auf eine Dezimalstelle).
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" colspan="2" rowspan="2"|Mängelanzahl <math>(x_{k})</math>
 
|align="center" colspan="3"|Alter <math>(y_{j})</math>
 
|align="center" rowspan="2"|RV <math>X\;</math>
 
|-
 
|align="center"|<math><1</math>
 
|align="center"|1-2
 
|align="center"|2 oder älter
 
|-
 
|align="center" rowspan="2"|0
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|30
 
|align="center"|14
 
|align="center"|5
 
|align="center"|49
 
|-
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|26,7
 
|align="center"|13,4
 
|align="center"|8,9
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center" rowspan="2"|1
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|18
 
|align="center"|10
 
|align="center"|4
 
|align="center"|32
 
|-
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|17,5
 
|align="center"|8,7
 
|align="center"|5,8
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center" rowspan="2"|2 oder mehr
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|12
 
|align="center"|6
 
|align="center"|11
 
|align="center"|29
 
|-
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|15,8
 
|align="center"|7,9
 
|align="center"|5,3
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center" colspan="2"| RV <math>Y\;</math>
 
|align="center"|60
 
|align="center"|30
 
|align="center"|20
 
|align="center"|110
 
|}
 
 
Die [[Approximation]]sbedingung ist erfüllt, da alle <math>\widehat{e}_{kj}\geq 5</math> sind. Mit <math>K = 3</math> und <math>J = 3</math> folgt für die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e: <math>f = (K - 1)\cdot(J - 1) =2\cdot2= 4</math>.
 
 
Für <math>P(V \leq c) = 0,95</math> und <math>f = 4</math> findet man aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Chi-Quadrat-Verteilung]] den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c=\chi_{1-\alpha ;(f)}^{2}=\chi_{0,95;4}^{2}=9,49</math>.
 
 
Die [[Entscheidungsbereiche]] sind damit:
 
 
[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\; \left\{ v|v>9,49\right\}</math>
 
 
[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]]  <math>H_{0}:\;\left\{ v|v\leq 9,49\right\}</math>
 
 
Als [[Prüfwert]] ergibt sich:
 
 
<math>v=\frac{\left( 30-26,7\right)^{2}}{26,7}+\frac{\left( 14-13,4\right)^{2}}{13,4}+\ldots +\frac{\left( 11-5,3\right)^{2}}{5,3}=10,5</math>
 
 
====Testentscheidung====
 
 
Da <math>v</math> in den [[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}</math> fällt, wird die [[Nullhypothese]] abgelehnt <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''})</math>.
 
 
Auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha =0,05</math> und basierend auf einer [[Zufallsstichprobe]] vom [[Stichprobenumfang|Umfang]] <math>n = 110</math> konnte [[Statistik|statistisch]] bewiesen werden, dass die [[Zufallsvariable]]n <math>X\;</math>: "Anzahl der Mängel am Pkw" und <math>Y\;</math>: "Alter des Pkw" [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]] sind.
 
 
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen [[Fehler 1. Art]] <math>(\mbox{''}H_{1}\mbox{''}|H_0)</math> zu begehen, wenn in Wirklichkeit die [[Nullhypothese]] richtig ist.
 
 
Die [[Wahrscheinlichkeit]] für einen [[Fehler 1. Art]] entspricht dem vorgegebenen [[Signifikanzniveau]] <math>\alpha = 0,05</math>.
 
 
===Umfrage===
 
 
Bei einer Umfrage in den Jahren 1991 und 1996 wurde zufällig ausgewählten Bürgern der Bundesrepublik Deutschland mit einem Alter von mindestens 18 Jahre zum Befragungszeitpunkt die folgenden Fragen gestellt:
 
 
1. "Wie beurteilen Sie die heutige wirtschaftliche Lage in Deutschland?"
 
 
2. "Wie wird die wirtschaftliche Lage in Deutschland in einem Jahr sein?"
 
 
Die Einschätzungen konnten die Befragten jeweils auf einer fünfteiligen Skala vornehmen:
 
 
1. Frage: 1 - sehr gut, 2 - gut, 3 - teils gut / teils schlecht, 4 - schlecht, 5 - sehr schlecht
 
 
2. Frage: 1 - wesentlich besser als heute, 2 - etwas besser, 3 - gleichbleibend, 4 - etwas schlechter, 5 - wesentlich schlechter.
 
 
Der Inhalt der 1. Frage wird als [[Zufallsvariable]] <math>X_{1}:\;</math> "Gegenwärtige Wirtschaftslage" und der Inhalt der 2. Frage als [[Zufallsvariable]] <math>X_{2}:\;</math> "Zukünftige Wirtschaftslage" definiert, die die genannten 5 möglichen [[Realisation]]en annehmen können.
 
 
Darüber hinaus wurde u.a. erfasst, ob die befragte Person aus den alten Bundesländern (einschließlich West-Berlin) oder aus den neuen Bundesländern (einschließlich Ost-Berlin) stammt.
 
 
Dies sei die [[Zufallsvariable]] <math>Y\;</math>: "Erhebungsgebiet" mit den möglichen [[Realisation]]en <math>y_{1} =</math> "West" und <math>y_{2} = </math> "Ost".
 
 
Es soll auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha =0,05</math> geprüft werden, ob die [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math> und <math>Y\;</math> bzw. <math>X_{2}\;</math> und <math>Y\;</math> in den Jahren 1991 bzw. 1996 [[Unabhängigkeit (stochastisch)|unabhängig]] sind.
 
 
Da stets die [[Nullhypothese]] [[Statistik|statistisch]] geprüft wird, muss die [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] zwischen den beiden [[Zufallsvariable]]n als <math>H_{0}</math> formuliert werden, um die gemeinsamen erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] ermitteln zu können, so dass die [[Hypothese]]npaare lauten:
 
 
<math>H_{0}:X_{1}\;</math> und <math>Y\;</math> sind [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
<math>H_{1}:X_{1}\;</math> und <math>Y\;</math> sind nicht [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
und
 
 
<math>H_{0}:X_{2}\;</math> und <math>Y\;</math> sind [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
<math>H_{1}:X_{2}\;</math> und <math>Y\;</math> sind nicht [[Unabhängigkeit (stochastisch)|stochastisch unabhängig]].
 
 
====Teststatistik====
 
 
Es wird die [[Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest)|Teststatistik des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest]] verwendet
 
 
<math>V=\sum_{k=1}^{K}\sum_{j=1}^{J}\frac{\left( H_{kj}-\widehat{e}_{kj}\right)^{2}}{\widehat{e}_{kj}}</math>
 
 
die bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]] [[Approximation|approximativ]] [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilt]] ist mit der Anzahl der
 
[[Freiheitsgrad]]e <math>f = (K - 1)\cdot(J - 1)</math>.
 
 
Die [[Entscheidungsbereiche]] der [[Nullhypothese]] können erst nach Vorliegen der [[Stichprobe]] festgelegt werden, da
 
 
* die gemeinsamen erwarteten [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] aus der [[Stichprobe]] zu [[Schätzung|schätzen]] sind,
 
 
* erst dann die [[Approximation]]sbedingung überprüft werden kann und ersichtlich ist, ob Werte zusammenzufassen sind,
 
 
* erst danach die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e feststeht und der [[Kritischer Wert|kritische Wert]] aufgesucht werden kann.
 
 
====Entscheidungsbereiche, Prüfwert und Testentscheidung====
 
 
Die sich aus den [[Stichprobe]]n im Jahre 1991 und 1996 ergebenden gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] und [[Randhäufigkeit]]]en sind in den folgenden Tabellen 1 - 4 enthalten.
 
 
Gleichzeitig werden in die Zellen dieser Tabellen die [[Schätzung|geschätzt]]en gemeinsamen [[Absolute Häufigkeit|absoluten Häufigkeiten]] bei Gültigkeit der [[Nullhypothese]], die sich gemäß
 
 
<math>\widehat{e}_{kj}=\frac{h_{k\bullet }\cdot h_{\bullet j}}{n}</math>
 
 
ergeben (gerundet auf eine Dezimalstelle), und die Differenzen <math>h_{kj}-\widehat{e}_{kj}</math> aufgenommen.
 
 
 
Tabelle 1: Gegenwärtige Wirtschaftslage <math>(X_{1})\;</math> und Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math> 1991
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|colspan="2" align="center" rowspan="2"|Gegenwärtige Wirtschaftslage <math>(X_{1})\;</math>
 
|align="center" colspan="2" |Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math>
 
|align="center" rowspan="2"|RV <math>X_{1}\;</math>
 
|-
 
|align="center"|West
 
|align="center"|Ost
 
|-
 
|align="center"|sehr gut
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|209
 
|align="center"|165
 
|align="center"|374
 
|-
 
|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|184,8
 
|align="center"|189,2
 
|
 
|-
 
|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|24,2
 
|align="center"|-24,2
 
|
 
|-
 
|align="center"|gut
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|744
 
|align="center"|592
 
|align="center"|1336
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|660,1
 
|align="center"|675,9
 
|
 
|-
 
|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|83,9
 
|align="center"|-83,9
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|teils/teils
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|431
 
|align="center"|647
 
|align="center"|1078
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|532,6
 
|align="center"|545,5
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-101,6
 
|align="center"|101,6
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|schlecht
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|36
 
|align="center"|39
 
|align="center"|75
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|37,1
 
|align="center"|37,9
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-1,1
 
|align="center"|1,1
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|sehr schlecht
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|4
 
|align="center"|15
 
|align="center"|19
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|9,4
 
|align="center"|9,6
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-5,4
 
|align="center"|5,4
 
|
 
|-
 
|align="center" colspan="2"|RV <math>Y\;</math>
 
|align="center"|1424
 
|align="center"|1458
 
|align="center"|2882
 
|}
 
 
 
Tabelle 2: Gegenwärtige Wirtschaftslage <math>(X_{1})\;</math> und Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math> 1996
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" colspan="2" rowspan="2"|Gegenwärtige Wirtschaftslage <math>(X_{1})\;</math>
 
|align="center" colspan="2"|Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math>
 
|align="center" rowspan="2"|RV <math>X_{1}\;</math>
 
|-
 
|align="center"|West
 
|align="center"|Ost
 
 
|-
 
|align="center"|sehr gut
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|20
 
|align="center"|6
 
|align="center"|26
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|17,2
 
|align="center"|8,8
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|2,8
 
|align="center"|-2,8
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|gut
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|264
 
|align="center"|116
 
|align="center"|380
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|251,3
 
|align="center"|128,7
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|12,7
 
|align="center"|-12,7
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|teils/teils
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|1006
 
|align="center"|557
 
|align="center"|1563
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|1033,7
 
|align="center"|529,3
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-27,7
 
|align="center"|27,7
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|schlecht
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|692
 
|align="center"|335
 
|align="center"|1027
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|679,2
 
|align="center"|347,8
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|12,8
 
|align="center"|-12,8
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|sehr schlecht
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|141
 
|align="center"|73
 
|align="center"|214
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|141,5
 
|align="center"|72,5
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-0,5
 
|align="center"|0,5
 
|
 
|-
 
|align="center" colspan="2"|RV <math>Y\;</math>
 
|align="center"|2123
 
|align="center"|1087
 
|align="center"|3210
 
|}
 
 
 
Tabelle 3: Zukünftige Wirtschaftslage <math>(X_{2})\;</math> und Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math> 1991
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" colspan="2" rowspan="2"|Zukünftige Wirtschaftslage <math>(X_{2})\;</math>
 
|align="center" colspan="2"|Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math>
 
|align="center" rowspan="2"|RV <math>X_{2}\;</math>
 
|-
 
|align="center"|West
 
|align="center"|Ost
 
|-
 
|align="center"|wesentlich besser
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|75
 
|align="center"|203
 
|align="center"|278
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|137,4
 
|align="center"|140,6
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-62,4
 
|align="center"|62,4
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|etwas besser
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|449
 
|align="center"|763
 
|align="center"|1212
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|598,9
 
|align="center"|613,1
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-149,9
 
|align="center"|149,9
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|gleichbleibend
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|684
 
|align="center"|414
 
|align="center"|1108
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|547,5
 
|align="center"|560,5
 
|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|136,5
 
|align="center"|-136,5
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|etwas schlechter
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|200
 
|align="center"|62
 
|align="center"|262
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|129,5
 
|align="center"|132,5
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|70,5
 
|align="center"|-70,5
 
|
 
|-
 
|align="center"|wesentlich schlechter
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|16
 
|align="center"|6
 
|align="center"|22
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|10,9
 
|align="center"|11,1
 
|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|5,1
 
|align="center"|-5,1
 
|
 
|-
 
|colspan="2"|RV <math>Y\,</math>
 
|align="center"|1424
 
|align="center"|1458
 
|align="center"|2882
 
|}
 
 
 
Tabelle 4: Zukünftige Wirtschaftslage <math>(X_{2})\;</math> und Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math> 1996
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center" colspan="2" rowspan="2"|Zukünftige Wirtschaftslage <math>(X_{2})\;</math>
 
|align="center" colspan="2"|Erhebungsgebiet <math>(Y)\;</math>
 
|rowspan="2" align="center"|RV <math>X_{2}\;</math>
 
|-
 
|align="center"|West
 
|align="center"|Ost
 
|-
 
|align="center"|wesentlich besser
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|9
 
|align="center"|6
 
|align="center"|15
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|9,9
 
|align="center"|5,1
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-0,9
 
|align="center"|0,9
 
|
 
|-
 
|align="center"|etwas besser
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|190
 
|align="center"|131
 
|align="center"|321
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|212,3
 
|align="center"|108,7
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-22,3
 
|align="center"|22,3
 
|
 
|-
 
|align="center"|gleichbleibend
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|809
 
|align="center"|444
 
|align="center"|1253
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|828,7
 
|align="center"|42,3
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-19,7
 
|align="center"|19,7
 
|
 
|-
 
|align="center"|etwas schlechter
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|960
 
|align="center"|426
 
|align="center"|1386
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|916,7
 
|align="center"|469,3
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|43,3
 
|align="center"|-43,3
 
|
 
|-
 
|align="center"|wesentlich schlechter
 
|align="center"|beobachtet
 
|align="center"|155
 
|align="center"|80
 
|align="center"|235
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|erwartet
 
|align="center"|155,4
 
|align="center"|79,6
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center"|
 
|align="center"|Differenz
 
|align="center"|-0,4
 
|align="center"|0,4
 
|align="center"|
 
|-
 
|align="center" colspan="2"|RV <math>Y\;</math>
 
|align="center"|2123
 
|align="center"|1087
 
|align="center"|3210
 
|}
 
 
Für alle 4 durchzuführende [[Statistischer Test|Tests]] gilt:
 
 
Die [[Approximation]]sbedingung ist erfüllt, da alle <math>\widehat{e}_{kj}\geq 5</math> sind. Mit <math>K = 5</math> und <math>J = 2</math> folgt für die Anzahl der [[Freiheitsgrad]]e: <math>f = (K - 1)\cdot(J - 1) = 4\cdot1=4</math>.
 
 
Für <math>P(V \leq c) = 0,95</math> und <math>f = 4</math> findet man aus der Tabelle der [[Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional)|Verteilungsfunktion]] der [[Chi-Quadrat-Verteilung]] den [[Kritischer Wert|kritischen Wert]] <math>c=\chi_{1-\alpha ;\left( K-1\right) \cdot \left( J-1\right)}^{2}=\chi_{0,95;4}^{2}=9,49</math>.
 
 
Die [[Entscheidungsbereiche]] sind damit:
 
 
[[Ablehnungsbereich der Nullhypothese|Ablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\; \left\{v|v>9,49\right\}</math>
 
 
[[Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese|Nichtablehnungsbereich der]] <math>H_{0}:\; \left\{ v|v\leq 9,49\right\}</math>
 
 
Als [[Prüfwert]]e und Testentscheidung ergeben sich:
 
 
{| border="1" cellpadding="3" style="text-align:center;margin:1em 1em 1em 0; background:#f9f9f9; border:1px #AAA solid; border-collapse:collapse; empty-cells:show;"
 
|align="center"|Jahr
 
|align="center"|[[Zufallsvariable]]n
 
|align="center"|[[Prüfwert]] <math>v</math>
 
|align="center"|Testentscheidung
 
|-
 
|align="center"|1991
 
|align="center"|<math>X_{1}, Y</math>
 
|align="center"|71,85
 
|align="center"|<math>H_{1}</math>
 
|-
 
|align="center"|1996
 
|align="center"|<math>X_{1}, Y</math>
 
|align="center"|6,15
 
|align="center"|<math>H_{0}</math>
 
|-
 
|align="center"|1991
 
|align="center"|<math>X_{2}, Y</math>
 
|align="center"|278,17
 
|align="center"|<math>H_{1}</math>
 
|-
 
|align="center"|1996
 
|align="center"|<math>X_{2}, Y</math>
 
|align="center"|14,61
 
|align="center"|<math>H_{1}</math>
 
|}
 
 
====Interpretation====
 
 
* Gegenwärtige Wirtschaftslage in Deutschland:
 
 
: Während für 1991 auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> die [[Nullhypothese]] abgelehnt wird, d.h. [[Statistik|statistisch]] eine Abhängigkeit zwischen den [[Zufallsvariable]]n <math>X_{1}\;</math>: "Gegenwärtige Wirtschaftslage" und <math>Y\;</math>: "Erhebungsgebiet" nachgewiesen werden konnte, wird für das Jahr 1996 die [[Nullhypothese]] nicht abgelehnt.
 
 
: 1991 bewerteten die Befragten in den alten Bundesländern die gegenwärtige Wirtschaftslage tendenziell deutlich zufriedener als die Befragten in den neuen Bundesländern, was anhand der großen positiven Differenzen <math>h_{kj}-\widehat{e}_{kj}</math> bei der sehr guten und guten Einschätzung in der Spalte West der Tabelle 1 zu erkennen ist.
 
 
: Auch 1996 treten Differenzen zwischen <math>h_{kj}</math> und <math>\widehat{e}_{kj}</math> auf, aber sie sind in ihrer Gesamtheit nicht mehr signifikant.
 
 
: Es hat offensichtlich eine Angleichung in den Einschätzungen der gegenwärtigen Wirtschaftslage zwischen West und Ost stattgefunden.
 
 
* Zukünftige Wirtschaftslage in Deutschland:
 
 
: Bezüglich der [[Zufallsvariable]]n <math>X_{2}\;</math>: "Zukünftige Wirtschaftslage" und <math>Y\;</math>: "Erhebungsgebiet" wird für beide Jahre die [[Nullhypothese]] der [[Unabhängigkeit (stochastisch)|Unabhängigkeit]] auf einem [[Signifikanzniveau]] von <math>\alpha = 0,05</math> abgelehnt.
 
 
: Hierbei sind es jedoch die Befragten in den neuen Bundesländern, die in beiden Jahren die zukünftige Wirtschaftslage tendenziell deutlich optimistischer bewerten als die Befragten in den alten Bundesländern.
 
 
: Vergleicht man beide Jahre miteinander, so sind die Differenzen <math>h_{kj}-\widehat{e}_{kj}</math> 1996 kleiner als 1991, was ebenfalls auf eine gewisse Annäherung in den Bewertungen zwischen West und Ost schließen lässt, jedoch sind sie auch 1996 in ihrer Gesamtheit noch [[Statistik|statistisch]] signifikant.
 

Aktuelle Version vom 22. November 2018, 15:59 Uhr

Testtheorie

Grundbegriffe der Testtheorie • Entscheidungsbereiche • Entscheidungssituationen • Zweiseitiger Test • Einseitiger Test • Gütefunktion • Test auf Mittelwert • Gauß-Test • Gütefunktion des Gauß-Tests • Einstichproben-t-Test • Test auf Anteilswert • Test auf Differenz zweier Mittelwerte • Zweistichproben-Gauß-Test • Zweistichproben-t-Test • Chi-Quadrat-Anpassungstest • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Ablehnungsbereich der Nullhypothese • alpha-Fehler • Alternativhypothese • Anpassungstest • beta-Fehler • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungsbereiche (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungsbereiche (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungsbereiche (Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Test auf Anteilswert) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungsbereiche (Zweistichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Entscheidungssituationen (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Entscheidungssituationen (Einstichproben-t-Test) • Entscheidungssituationen (Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Test auf Anteilswert) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-Gauß-Test) • Entscheidungssituationen (Zweistichproben-t-Test) • Fehler 1. Art • Fehler 2. Art • Goodness-of-fit-Test • Gütefunktion des Tests auf Anteilswert • Hypothese • Kritischer Wert • Linksseitiger Test • Macht eines Tests • Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese • Nullhypothese • OC-Kurve • Operationscharakteristik • Parametertest • Prüfgröße • Prüfwert • Prüfwert (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Prüfwert (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Prüfwert (Einstichproben-t-Test) • Prüfwert (Gauß-Test) • Prüfwert (Test auf Anteilswert) • Prüfwert (Zweistichproben-Gauß-Test) • Prüfwert (Zweistichproben-t-Test) • Rechtsseitiger Test • Signifikanzniveau • Statistischer Test • Testgröße • Teststatistik • Teststatistik (Chi-Quadrat-Anpassungstest) • Teststatistik (Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest) • Teststatistik (Einstichproben-t-Test) • Teststatistik (Gauß-Test) • Teststatistik (Test auf Anteilswert) • Teststatistik (Zweistichproben-Gauß-Test) • Teststatistik (Zweistichproben-t-Test) • Verteilungstest • Zweistichprobentest

Grundbegriffe

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest

Bei einem Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest wird geprüft, ob zwei Zufallsvariablen stochastisch unabhängig sind. Dieser statistische Test gehört zu den nichtparametrischen Tests.

An das Skalenniveau der Zufallsvariablen werden keine Voraussetzungen gestellt.

Es sei allgemein angenommen, dass zwei Zufallsvariablen und gleichzeitig an statistischen Einheiten () beobachtet werden, wobei die Unabhängigkeit der Stichprobenziehungen vorausgesetzt wird (einfache Zufallsstichprobe).

Sind und diskrete Zufallsvariablen (darunter werden im weiteren summarisch nominalskalierte, ordinalskalierte sowie diskrete Zufallsvariablen mit sehr wenigen Ausprägungen verstanden), nehmen sie die Stichprobenrealisationen und an.

Sind und stetige Zufallsvariablen (darunter werden im weiteren auch die diskreten Zufallsvariablen mit sehr vielen bzw. unendlich vielen Ausprägungen, d.h. die genannten quasi-stetigen Zufallsvariablen, gefasst), muss eine Intervallbildung der beobachteten Werte in disjunkte, aneinander angrenzende Klassen erfolgen.

und sind dann repräsentative Klassenwerte (im Allgemeinen die Klassenmitten) und und die Anzahl der gebildeten Klassen.

Eine geeignete Darstellungsform für die beobachtete gemeinsame Häufigkeitsverteilung der zwei Zufallsvariablen ist die zweidimensionale Häufigkeitstabelle (auch als Kontingenztabelle oder Kreuztabelle bezeichnet).

Zweidimensionale Häufigkeitstabelle:

RV
RV

bezeichnet die absolute Häufigkeit für das beobachtete Wertepaar , d.h. dass den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse und gleichzeitig den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse angenommen hat:

Die letzte Spalte enthält die beobachtete Randverteilung (RV) von mit den absoluten Randhäufigkeiten .

gibt an, wie oft den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse angenommen hat, wobei es gleichgültig ist, welchen Wert aufweist.

Die letzte Zeile weist die beobachtete Randverteilung von mit den absoluten Randhäufigkeiten aus.

gibt an, wie oft den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse angenommen hat, wobei es gleichgültig ist, welchen Wert aufweist.

Für die zweidimensionale Häufigkeitstabelle gelten folgende Beziehungen:

.

Die Nullhypothese lautet beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest stets, dass die Zufallsvariablen und in der Grundgesamtheit stochastisch unabhängig sind. Die Alternativhypothese enthält das logische Pendant.

: und sind stochastisch unabhängig.

: und sind nicht stochastisch abhängig.

Wenn die Nullhypothese gilt, dann ergibt sich nach dem Multiplikationssatz bei Unabhängigkeit

Dabei bezeichnen:

die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse und gleichzeitig den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse annimmt;

die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse annimmt (Randwahrscheinlichkeit von ) und

die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert bzw. einen Wert aus der -ten Klasse annimmt (Randwahrscheinlichkeit von ).

Das Hypothesenpaar kann somit konkretisiert werden:

für alle Paare

für mindestens ein Paar

Das Signifikanzniveau und der Stichprobenumfang sind vor der Testdurchführung festzulegen.

Teststatistik des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests

Für die Bestimmung der Teststatistik wird von den absoluten Häufigkeiten ausgegangen. Der Test basiert auf dem Vergleich der in der Stichprobe beobachteten und der bei Gültigkeit der Nullhypothese erwarteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten.

Für die konkrete Stichprobe sind die gemeinsamen absoluten Häufigkeiten

in den Zellen der zweidimensionalen Häufigkeitstabelle gegeben. Da diese absoluten Häufigkeiten Ergebnis eines Zufallsexperimentes sind, können sie von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Werte annehmen, d.h., sie sind Realisationen von Zufallsvariablen .

Wenn die Nullhypothese gilt, ergeben sich die erwarteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten als .

Da die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten und die Randwahrscheinlichkeiten und für alle und unbekannt sind, müssen sie aus der Stichprobe geschätzt werden.

Erwartungstreue und konsistente Punktschätzungen für und sind die relativen Randhäufigkeiten und .

Das beinhaltet, dass von festen Randhäufigkeiten der zweidimensionalen Häufigkeitstabelle ausgegangen wird. Damit erhält man Schätzungen für die unter erwarteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten:

Der Vergleich zwischen den in der Stichprobe beobachteten und den bei Gültigkeit der Nullhypothese erwarteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten baut auf den Differenzen auf.

Eine summarische Größe, die die Abweichung von der Nullhypothese bewertet, ist die Teststatistik

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist die Teststatistik approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden.

Die Approximation an die Chi-Quadrat-Verteilung ist hinreichend, wenn für alle gilt.

Ist diese Bedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des Tests benachbarte Werte bzw. Klassen zusammengefaßt werden. und sind die Anzahlen der verbliebenen Werte bzw. Klassen nach einer eventuell notwendigen Zusammenfassung.

Der kritische Wert wird für und die Anzahl der Freiheitsgrade aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung entnommen.

Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests

Die Entscheidungsbereiche sind:

Ablehnungsbereich der

Nichtablehnungsbereich der

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich der annimmt, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist .

Nichtablehnungsbereich der | Ablehnungsbereich der

Prüfwert des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wurde, können die absoluten Häufigkeiten für alle beobachteten Wertepaare ermittelt, daraus die beobachteten Randhäufigkeiten für und bestimmt und die erwarteten absoluten Häufigkeiten berechnet werden.

Ist die Approximationsbedingung nicht erfüllt, müssen Werte bzw. Klassen geeignet zusammengefaßt und die Häufigkeiten , , und erneut bestimmt werden.

Einsetzen von und für alle in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert .

Entscheidungssituationen des Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstests

Wenn in den Ablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau und basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang abgelehnt .

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass die Zufallsvariablen und nicht stochastisch unabhängig sind.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .

Wenn in den Nichtablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese basierend auf der Zufallsstichprobe vom Umfang nicht abgelehnt .

Das Stichprobenergebnis gibt keine Veranlassung, die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen und zu verwerfen.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.