Chi-Quadrat-Anpassungstest/Beispiel: Würfel

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Beispiele

Würfel

Von einem gegebenen Würfel wird behauptet, dass es sich um einen fairen Würfel handelt.

Um diese Behauptung zu überprüfen, wird ein Chi-Quadrat-Anpassungstest auf dem Signifikanzniveau von durchgeführt. Der Umfang der Stichprobe sei .

Die interessierende Zufallsvariable ist : "Geworfene Augenzahl des Würfels" mit den möglichen Realisationen und . ist eine diskrete Zufallsvariable.

Die Verteilung ist unbekannt, da nichts über den vorliegenden Würfel bekannt ist. Die Behauptung, dass es sich um einen fairen Würfel handelt, impliziert jedoch, dass die sechs möglichen Realisationen alle die gleiche Wahrscheinlichkeit des Eintretens aufweisen.

Es ist somit die Hypothese zu prüfen, dass die Zufallsvariable eine diskrete Gleichverteilung aufweist, woraus sich das Hypothesenpaar

ist diskret gleichverteilt

ist nicht diskret gleichverteilt

ergibt.

Bei Gültigkeit der Nullhypothese folgt aufgrund der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit für alle , so dass die Hypothesen konkretisiert werden können:

für mindestens ein

Teststatistik und Entscheidungsbereiche

Es wird die Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests

verwendet.

Sie ist bei Gültigkeit der Nullhypothese approximativ Chi-Quadrat-verteilt, da wegen für alle die Approximationsbedingungen erfüllt sind.

Die diskrete Gleichverteilung ist eine vollständig spezifizierte Verteilung, d.h. es ist kein Parameter aus der Stichprobe zu schätzen, womit ist.

Die Anzahl der Werte ist . Damit resultiert für die Anzahl der Freiheitsgrade: .

Für und findet man in der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung den kritischen Wert .

Die Entscheidungsbereiche sind damit:

Ablehnungsbereich der

Nichtablehnungsbereich der .

Prüfwert und Testentscheidung

Der Würfel wird 240 mal geworfen. Dabei handelt es sich um eine einfache Zufallsstichprobe, denn die Voraussetzung der Unabhängigkeit der Würfe ist gegeben.

Spalte 2 der folgenden Tabelle enthält die beobachtete Anzahl der Augenzahlen

Augenzahl beobachtete Anzahl unter erwartete Anzahl
1 52 40 12 144 3,6
2 50 40 10 100 2,5
3 32 40 -8 64 1,6
4 36 40 -4 16 0,4
5 32 40 -8 64 1,6
6 38 40 -2 4 0,2

Abweichungen zwischen den beobachteten Anzahlen und den unter erwarteten Anzahlen sind gegeben.

Können diese Abweichungen noch als zufällig angesehen werden, wenn es sich um einen fairen Würfel handeln soll?

Der Prüfwert ergibt sich als Summe der Werte in der letzten Spalte:

Da in den Ablehnungsbereich der fällt, wird die Nullhypothese abgelehnt .

Auf einem Signifikanzniveau von und basierend auf einer Zufallsstichprobe vom Umfang konnte statistisch bewiesen werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen : "Geworfene Augenzahl des Würfels" keiner diskreten Gleichverteilung entspricht, d.h. der vorliegende Würfel kein fairer Würfel ist.

Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .