Chi-Quadrat-Anpassungstest

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Testtheorie

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Grundbegriffe

Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test

Bei diesem Test wird eine Hypothese über die unbekannte Verteilung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit geprüft, woraus sich der Name Anpassungstest, Verteilungstest oder Goodness-of-fit-Test ergibt.

Anpassungstests gehören zu den nichtparametrischen Tests.

Es gibt eine ganze Reihe von Anpassungstests, von denen hier nur der Chi-Quadrat-Anpassungstest behandelt wird.

Die generelle Vorgehensweise bei Anpassungstests ist im Prinzip wie bei den Parametertests.

Es wird eine Teststatistik konstruiert, die die Information über die hypothetische Verteilung sowie die Verteilung in der Zufallsstichprobe enthält und auf deren Basis eine Aussage über die Nullhypothese möglich ist.

Die Verteilung der Teststatistik muss unter der Nullhypothese (zumindest approximativ) bekannt sein.

Auch bei Anpassungstests wird stets die Nullhypothese statistisch geprüft und in Abhängigkeit von der Testentscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art mit der Wahrscheinlichkeit bzw. einen Fehler 2. Art mit der Wahrscheinlichkeit zu begehen.

Mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau kann die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art niedrig gehalten werden; die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art ist dagegen in der Regel nicht bekannt.

Man wird deshalb bestrebt sein, die Nullhypothese abzulehnen, da dann die statistische Sicherheit einer Fehlentscheidung bekannt ist.

Wenn die hypothetische Verteilung die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit ist, dann ist zu erwarten, dass diese Verteilung im Prinzip auch in der Stichprobe zu beobachten ist.

Im Prinzip bedeutet dabei, dass Abweichungen zwischen der beobachteten Verteilung in der Stichprobe und der unter der Verteilungsannahme erwarteten Verteilung in der Stichprobe in der Regel immer auftreten werden.

Zu entscheiden ist, ob die Abweichungen noch zufallsbedingt sind oder ob es sich um signifikante Abweichungen handelt.

Um die erwartete Verteilung in der Stichprobe ermitteln zu können, muss unter der Nullhypothese angenommen werden, dass genau die hypothetische Verteilung die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit ist.

Damit lautet das Hypothesenpaar stets:

Die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit weist die hypothetische Verteilung auf.

Die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit weist eine andere als die hypothetische Verteilung auf.

Große Abweichungen zwischen der beobachteten Verteilung und der erwarteten Verteilung in der Stichprobe deuten tendenziell auf eine falsche Verteilungsannahme hin, d.h. man wird die Nullhypothese ablehnen.

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest basiert auf einer einfachen Zufallsstichprobe vom vorgegebenen Umfang . Das Signifikanzniveau ist vor der Testdurchführung festzulegen.

Gegeben ist eine Zufallsvariable in der Grundgesamtheit mit der Verteilung , wobei an das Skalenniveau von keine Voraussetzungen gestellt werden.

Die Verteilung ist unbekannt. Es existiert jedoch eine Annahme, dass die hypothetische Verteilung besitzt.

Ist eine diskrete Zufallsvariable (darunter werden im weiteren summarisch nominalskalierte, ordinalskalierte sowie diskrete Zufallsvariablen mit sehr wenigen Ausprägungen verstanden), kann sie die Werte annehmen.

Es bezeichne:

  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert annimmt, .

Ist eine stetige Zufallsvariable (darunter werden im weiteren auch die diskreten Zufallsvariablen mit sehr vielen bzw. unendlich vielen Ausprägungen, d.h. die genannten quasi-stetigen Zufallsvariablen, gefasst), muss eine Intervallbildung der beobachteten Werte in disjunkte, aneinander angrenzende Klassen erfolgen.

Mit als Anzahl der Klassen können die Klassen allgemein wie folgt geschrieben werden:

, für .

Es bezeichne im stetigen Fall:

  • die beobachtete absolute Häufigkeit der j-ten Klasse in der Stichprobe, ,
  • die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert aus der Klasse annimmt .

Die Nullhypothese lautet beim Anpassungstest immer, dass die Zufallsvariable in der Grundgesamtheit die hypothetische Verteilung aufweist. Die Alternativhypothese enthält das logische Pendant.

Das dem Chi-Quadrat-Anpassungstest zugrundeliegende Hypothesenpaar lautet speziell:

  • wenn diskret ist
für mindestens ein
  • wenn stetig ist
für mindestens ein

Dabei bezeichnet sowohl im diskreten als auch im stetigen Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable den Wert annimmt bzw. in die j-te Klasse fällt, wenn die hypothetische Verteilung zugrundegelegt wird, d.h. wenn die Nullhypothese gilt:

Die können bestimmt werden durch die Vorgabe

Beispiel: Die Annahme besagt, dass die Zufallsvariable eine Poisson-Verteilung mit vorgegebenem Parameter besitzt.
Beispiel: Die Annahme besagt, dass die Zufallsvariable eine Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert und unbekannter Standardabweichung aufweist, so dass diese beiden Parameter erst aus der Stichprobe zu schätzen sind.
Beispiel: Die Zufallsvariable habe vier mögliche Realisationen. Es wird angenommen, dass diese mit den fest vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten , , und auftreten.

Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Der Chi-Quadrat-Anpassungstests basiert auf dem Vergleich der in der Stichprobe beobachteten Verteilung und der bei Gültigkeit der Nullhypothese in der Stichprobe erwarteten Verteilung.

Für die Bestimmung der Teststatistik des Chi-Quadrat-Anpassungstests wird von den absoluten Häufigkeiten ausgegangen.

Für die konkrete Stichprobe wird die Anzahl festgestellt, dass das Ereignis bzw. eingetreten ist.

Mit den absoluten Häufigkeiten für alle ist die in der Stichprobe beobachtete Verteilung gegeben. Da die absoluten Häufigkeiten Ergebnis eines Zufallsexperimentes sind, können sie von Stichprobe zu Stichprobe unterschiedliche Werte annehmen, d.h. sie sind Realisationen von Zufallsvariablen .

Wenn die Nullhypothese gilt, sind die in der Stichprobe erwarteten relativen Häufigkeiten durch die Wahrscheinlichkeiten gegeben.

Für die erwarteten absoluten Häufigkeiten folgt: .

Der Vergleich zwischen beobachteter und erwarteter Verteilung baut auf den Differenzen auf. Große Differenzen sprechen tendenziell gegen die Nullhypothese und deuten auf eine falsche Verteilungsannahme hin.

Eine summarische Größe, die die Abweichung von der Nullhypothese bewertet, ist die Teststatistik

Bei Gültigkeit der Nullhypothese ist die Teststatistik approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. Dies gilt unabhängig davon, welche Verteilung unter angenommen wurde.

Approximationsvoraussetzungen:

Die Approximation an die Chi-Quadrat-Verteilung ist hinreichend, wenn

  • für alle und

gilt.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, müssen vor der Anwendung des Tests benachbarte Werte bzw. Klassen zusammengefasst werden.

Da die unter vorgegeben sind, folgt außerdem aus den Approximationsvoraussetzungen, dass die Approximation um so besser ist, je größer der Stichprobenumfang ist.

Bei der Bestimmung der Anzahl der Freiheitsgrade ist zu berücksichtigen, dass:

  • die Anzahl der verbliebenen Werte bzw. Klassen nach einer eventuell notwendigen Zusammenfassung ist,
  • die Anzahl der unbekannten und aus der Stichprobe zu schätzenden Parameter der hypothetischen Verteilung bezeichnet (wenn unter eine vollständig spezifizierte Verteilung vorgegeben wurde, ist ).

Da in der Teststatistik die Terme nur positive Werte annehmen können, nimmt die Teststatistik ebenfalls nur positive Werte an.

Große Abweichungen zwischen beobachteter und erwarteter Verteilung führen zu großen Werten von .

Somit führen nur große Werte von zur Ablehnung der , während kleine Werte von nicht gegen die Nullhypothese sprechen, sondern auf eine gute Übereinstimmung hindeuten.

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ist somit ein rechtsseitiger Test.

Der kritische Wert wird für und die Anzahl der Freiheitsgrade aus der Tabelle der Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung entnommen.

Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Die Entscheidungsbereiche des Chi-Quadrat-Anpassungstests sind:

  • Ablehnungsbereich der .
  • Nichtablehnungsbereich der .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Ablehnungsbereich der annimmt, entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik eine Realisation aus dem Nichtablehnungsbereich der annimmt, ist .

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</R>

Nichtablehnungsbereich der | Ablehnungsbereich der

Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Wenn die Zufallsstichprobe vom Umfang gezogen wurde, können die absoluten Häufigkeiten ermittelt, gegebenenfalls unbekannte Parameter der hypothetischen Verteilung geschätzt und die erwarteten Häufigkeiten berechnet werden.

Einsetzen in die Teststatistik führt zu einem Prüfwert des Chi-Quadrat-Anpassungstests .

Entscheidungssituationen des Chi-Quadrat-Anpassungstests

Es konnte statistisch gezeigt werden, dass die Verteilung der Zufallsvariablen in der Grundgesamtheit nicht der hypothetischen Verteilung entspricht.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 1. Art () zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Nullhypothese richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art entspricht dem vorgegebenen Signifikanzniveau .
Es konnte statistisch nicht gezeigt werden, dass die wahre Verteilung in der Grundgesamtheit von der hypothetischen Verteilung abweicht.
Das bedeutet jedoch nicht, dass die wahre Verteilung tatsächlich die hypothetische Verteilung ist. Das Stichprobenergebnis gibt nur keine Veranlassung, zu verwerfen.
Bei dieser Entscheidung besteht die Möglichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn in Wirklichkeit die Alternativhypothese richtig ist.