Bivariate Statistik/Lösungen

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Verspätungen

r_{S} = - 0,8

Sportveranstaltungen

  • \chi^{2} = 14,4797; C = 0,2146; C_{korr} = 0,3035
  • \chi^{2} = 0
  • \chi^{2} = 0
  • Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.

Old Faithful

Variable X: Dauer einer Eruption (in Minuten)
Variable Y: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus
\rightarrow Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \sum_ix_i&=&26,9\quad\sum_ix_i^2=100,53\\ \quad\sum_iy_i&=&587\quad\sum_iy_i^2=45131\\ \quad\sum_i&x_iy_i&=2114,6\\ \end{aligned}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} r_{yx}&=&\frac{\displaystyle n\sum_i^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\sum_i^ny_i}{\displaystyle\sqrt{\left(n\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(n\sum_{i=1}^ny_i^2-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^ny_i\right)}}\\ &=& 0,97727 \end{aligned}

Alter und Preis eines PKWs

Gegeben: s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81
Es ist r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y. Daraus folgt: s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)
Ferner ist: r_{yx}=-0,9 (r_{yx} und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); s_y=2
s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3

Koeffizienten Vergleich

  1. H) Median
  2. F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz \chi^2
  3. D) Interquartilsabstand
  4. B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz

GM

X – Wert der Aktie
K_i – Kurs der AktieE_j – Wechselkurs
Dann ist\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung
Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von E und K entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:
Randverteilung von E: 0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2
Randverteilung von K: 0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35
\overline{e}=1,97 EUR/$ \overline{k}=118,0175 $
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu \bar{x}=232,5 EUR.

Teesorten

r_{S} = 0,5714

Buttersorten

Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient:
r_S=1-(6\cdot\sum d_i^2)/[n\cdot(n^2-1)]
r_S=1-(6\cdot8)/(7\cdot48)=1-48/336=1-0,1429=08571\approx0,857

Tarifvereinbarungen

lineare Transformation: y=a+bx
\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294

Cafeteria

Frauen Männer
Mensa h_{11} h_{12} h_{1\bullet}
Cafeteria h_{21} h_{22} h_{2\bullet}
h_{\bullet1} h_{\bullet2} n

n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30

Unabhängigkeit:
\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80

Relationen der Merkmalsausprägungen

Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale X und Y ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß

i 1 2 3 4 5
x_i 1 3 5 2 4
y_i 3 1 4 2 5
d_i 2 2 1 0 1

r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5

Stellung im Beruf

Datei:2 74 Stellung im Beruf.xlsx

  •  

    Geschlecht RV
    Beamte(r) Angestellte(r) Arbeiter(in) Geschlecht
    weiblich 15 20 5 40
    männlich 10 30 20 60
    RV Beruf 25 50 25 n=100
  • Bedingte Verteilung f(y_{j}|x_{1})

    Beamte Angestellte Arbeiter
    w 0,375 0,5 0,125
  • Bedingte Verteilung f(x_{i}|y_{2})

    Angestellte
    w 0,4
    m 0,6
  • Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)

    Beamte(r) Angestellte(r) Arbeiter(in) RV Geschlecht
    weiblich 0.15 0.2 0.05 0.4
    männlich 0.1 0.3 0.2 0.6
    RV Stellung 0.25 0.5 0.25 1

  • Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird

    Beamte(r) Angestellte(r) Arbeiter(in) RV Geschlecht
    weiblich 0.1 0.2 0.1 0.4
    männlich 0.15 0.3 0.15 0.6
    RV Stellung 0.25 0.5 0.25 1

  • Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. f_{11}
         \neq f_{1.} \cdot f_{.1} ist.

Tekolom und IBBM - Teil II

Tekolom–Aktie var(X)=16, IBBM–Aktie var(Y)=1, Portfolio Z=100X+200Y
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\ var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\ &=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{aligned}

Mensaessen

Es sei R_E die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und R_1 die von Essen 1.
Fall A: R_E=1, R_1=4
r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0
Fall B: R_E=4, R_1=1
r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0

Außentemperatur und Dauer eines Weges

{r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953

Körpergröße

  • X: “Körpergröße in cm”; \overline{x} = 128 cm; s_{x}^{
         2} = 26 cm^{2}; s_{x} = 5,1 cm;

v_{x} = 0,0398
Y:“Körpergröße in Zoll”; \overline{y} = 51,2 Zoll; s_{y}^{
         2} = 4,16 Zoll^{2}; s_{y} = 2,04 Zoll; v_{y} = 0,0398

  • x_{i}= a + by_{i} mit a = 0 und b = 2,5; \overline{x}  =
         a + b\overline{y}

s_{x} = |b|s_{y}; v_{x} = s_{x}/\overline{x} =
         (|b|s_{y})/b\overline{y} = s_{y}/\overline{y} = v_{y}