Bivariate Statistik/Lösungen

Verspätungen

$r_{S}$ = - 0,8

Sportveranstaltungen

• $\chi^{2}$ = 14,4797; $C$ = 0,2146; $C_{korr}$ = 0,3035
• $\chi^{2}$ = 0
• $\chi^{2}$ = 0
• Zusammenhang unter a) nur scheinbar; er wird durch den Einfluss des Lebensalters vorgetäuscht. Bei der Ausschaltung dieses Einflusses durch die Untersuchung altersspezifischer Teilgesamtheiten zeigt sich, dass in Wirklichkeit Unabhängigkeit besteht.

Old Faithful

Variable $X$: Dauer einer Eruption (in Minuten)
Variable $Y$: Zeit zwischen zwei Eruptionen (in Minuten)
Beide Variablen sind metrischen Skalenniveaus
$\rightarrow$ Bravais–Pearson–Korrelationskoeffizient.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} \sum_ix_i&=&26,9\quad\sum_ix_i^2=100,53\\ \quad\sum_iy_i&=&587\quad\sum_iy_i^2=45131\\ \quad\sum_i&x_iy_i&=2114,6\\ \end{aligned}

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} r_{yx}&=&\frac{\displaystyle n\sum_i^nx_iy_i-\sum_{i=1}^nx_i\sum_i^ny_i}{\displaystyle\sqrt{\left(n\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(n\sum_{i=1}^ny_i^2-\sum_{i=1}^ny_i\sum_{i=1}^ny_i\right)}}\\ &=& 0,97727 \end{aligned}

Alter und Preis eines PKWs

Gegeben: $s_{xy}=-5,4\qquad s_y^2=4\qquad R_{yx}^2=0,81$
Es ist $r_{yx}=s_{yx}/s_xs_y$. Daraus folgt: $s_x=s_{yx}/(r_{yx}s_y)$
Ferner ist: $r_{yx}=-0,9$ ($r_{yx}$ und die Kovarianz haben das gleiche Vorzeichen); $s_y=2$
$s_x=s_{yx}/r_{yx}s_y=-5,4/(-0,9\cdot2)=3$

Koeffizienten Vergleich

1. H) Median
2. F) Korr. Kontingenzkoeffizient, K) Quadratische Kontingenz $\chi^2$
3. D) Interquartilsabstand
4. B) Bravais–Pearson KK, D) IQR, G) Kovarianz, L) Spannweite, O) Standardabweichung, P) Varianz

GM

X – Wert der Aktie
$K_i$ – Kurs der Aktie$E_j$ – Wechselkurs
Dann ist$\bar{X}=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5E_jK_if_{ji}$zu bestimmen. Da die Kovarianz Null ist, folgt aus der Kovarianzzerlegung
$Cov(E,K)=\sum_{j=1}^5\sum_{i=1}^5e_jK_if_{ji}-\overline{E}\cdot\overline{K},$dass der obige Wert dem Produkt der Mittelwerte von $E$ und $K$ entspricht. Mit den marginalen Häufigkeiten berechnet man:
Randverteilung von $E$: $0,2;\;0,4;\;0,1;\;0,1;\;0,2$
Randverteilung von $K$: $0,1;\;0,3;\;0,05;\;0,2;\;0,35$
$\overline{e}=1,97$ EUR/$ $\overline{k}=118,0175$ $
damit resultiert der durchschnittliche Wert der GM-Aktie zu $\bar{x}=232,5$ EUR.

Teesorten

$r_{S}$ = 0,5714

Buttersorten

Spearman’scher Rangkorrelationskoeffizient:
$r_S=1-(6\cdot\sum d_i^2)/[n\cdot(n^2-1)]$
$r_S=1-(6\cdot8)/(7\cdot48)=1-48/336=1-0,1429=08571\approx0,857$

Tarifvereinbarungen

lineare Transformation: $y=a+bx$
$\overline{y}=1,029\overline{x}+50=1,029\cdot1642,86+50=1740,50294$

Cafeteria

	Frauen	Männer
Mensa	$h_{11}$	$h_{12}$	$h_{1\bullet}$
Cafeteria	$h_{21}$	$h_{22}$	$h_{2\bullet}$
	$h_{\bullet1}$	$h_{\bullet2}$	$n$

$n=200,\quad h_{\bullet1}=0,375\cdot200=75,\quad h_{21}=45 \quad \Rightarrow h_{11}=30$

Unabhängigkeit:
$\displaystyle\frac{1}{n}h_{\bullet1}\cdot h_{1\bullet}=h_{11}$$\Leftrightarrow \quad h_{1\bullet}=30\cdot200/75=80$

Relationen der Merkmalsausprägungen

Da Relationen angegeben sind, sind die beiden Merkmale $X$ und $Y$ ordinal skaliert; Der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient ist ein geeignetes Maß

i	1	2	3	4	5
$x_i$	1	3	5	2	4
$y_i$	3	1	4	2	5
$d_i$	2	2	1	0	1

$r_s=1-\frac{\displaystyle6\sum_{i=1}^nd_i^2}{\displaystyle n(n^2-1)}=1-\frac{\displaystyle6\cdot10}{\displaystyle5\cdot(25-1)}=0,5$

Stellung im Beruf

•  
  

  Geschlecht		RV
  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	Geschlecht
  weiblich	15	20	5	40
  männlich	10	30	20	60
  RV Beruf	25	50	25	n=100

• Bedingte Verteilung $f(y_{j}|x_{1})$
  

  	Beamte	Angestellte	Arbeiter
  w	0,375	0,5	0,125

• Bedingte Verteilung $f(x_{i}|y_{2})$
  

  	Angestellte
  w	0,4
  m	0,6

• Beobachtete Gemeinsame Verteilung (relative Häufigkeiten)

  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	RV Geschlecht
  weiblich	0.15	0.2	0.05	0.4
  männlich	0.1	0.3	0.2	0.6
  RV Stellung	0.25	0.5	0.25	1

• Theoretische Werte der Gemeinsamen Verteilung, wenn Unabhängigkeit angenommen wird

  	Beamte(r)	Angestellte(r)	Arbeiter(in)	RV Geschlecht
  weiblich	0.1	0.2	0.1	0.4
  männlich	0.15	0.3	0.15	0.6
  RV Stellung	0.25	0.5	0.25	1

• Die Merkmale sind nicht unabhängig, da z.B. $f_{11} \neq f_{1.} \cdot f_{.1}$ ist.

Tekolom und IBBM - Teil II

Tekolom–Aktie $var(X)=16$, IBBM–Aktie $var(Y)=1$, Portfolio $Z=100X+200Y$
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin“): \begin{aligned} corr(X,Y)&=&\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X\cdot\sigma_Y} \rightarrow cov(X,Y)=0,2\cdot4\cdot1=0,8\\ var(Z)&=&var(100X)+var(200Y)+2\cdot100\cdot200cov(X,Y)\\ &=&10000\cdot16+40000\cdot1+40000\cdot0,8=232000\\\end{aligned}

Mensaessen

Es sei $R_E$ die Preis/Leistungs–Rangzahl von Eintopf und $R_1$ die von Essen 1.
Fall A: $R_E=1$, $R_1=4$
$r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(0+1+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{32}{35}=0,085714>0$
Fall B: $R_E=4$, $R_1=1$
$r_s=1-\frac{6\sum d_i^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot(9+16+9+9+9+4)}{6\cdot35}=1-\frac{56}{35}=-0,6<0$

Außentemperatur und Dauer eines Weges

${r_{xy}} = \frac{5\cdot(-1000)}{\displaystyle\sqrt{(5*1000)(5*7225-175^2)}} = \frac{-5000}{5224} = -0,953$

Körpergröße

• $X$: “Körpergröße in cm”; $\overline{x}$ = 128 cm; $s_{x}^{ 2}$ = 26 cm$^{2}$; $s_{x}$ = 5,1 cm;
  

$v_{x}$ = 0,0398
$Y$:“Körpergröße in Zoll”; $\overline{y}$ = 51,2 Zoll; $s_{y}^{ 2}$ = 4,16 Zoll$^{2}$; $s_{y}$ = 2,04 Zoll; $v_{y}$ = 0,0398

• $x_{i}= a + by_{i}$ mit $a = 0$ und $b = 2,5$; $\overline{x} = a + b\overline{y}$
  

$s_{x} = |b|s_{y}$; $v_{x} = s_{x}/\overline{x} = (|b|s_{y})/b\overline{y} = s_{y}/\overline{y} = v_{y}$