Binomialkoeffizient

Die druckbare Version wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisieren Sie Ihre Browser-Lesezeichen und verwenden Sie stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

Kombinatorik

Kombinatorik • Binomialkoeffizient • Permutation (Kombinatorik) • Variation (Kombinatorik) • Kombination (Kombinatorik) • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen

Eulersches Symbol • Kombination mit Wiederholung • Kombination ohne Wiederholung • Permutation mit Wiederholung • Permutation ohne Wiederholung • Variation mit Wiederholung • Variation ohne Wiederholung

Grundbegriffe

Binomialkoeffizient oder Eulersches Symbol

Der Binomialkoeffizient oder Eulersches Symbol ${n \choose k}$ , man liest dieses Symbol: " $n$ über $k$ ", wird im Rahmen der Kombinatorik verwendet.

Seien $n,k\in \mathbb {N}$ mit $n\geq k$ , dann ist der Binomialkoeffizient definiert als:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

Zusatzinformationen

Spezialfälle

${n \choose 0}$	$\,=$	${\frac {n\,!}{0\,!(n-0)\,!}}$	$\,=1$
${n \choose 1}$	$\,=$	${\frac {n\,!}{1\,!(n-1)\,!}}$	$\,=n$
${0 \choose 0}$	$\,=$	${n \choose n}$	$\,=1$
${n \choose k}$	$\,=$	$\,0,$	wenn $k>n\geq 0$

Symmetrie-Eigenschaft

${n \choose k}={n \choose n-k}$

Begründung der Symmetrie-Eigenschaft:

${\frac {n\,!}{k\,!(n-k)\,!}}={\frac {n\,!}{(n-k)\,!(n-(n-k))\,!}}$

Summen-Eigenschaft

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}$

Herleitung der Summen-Eigenschaft:

${\frac {n\,!}{k\,!(n-k)\,!}}+{\frac {n\,!}{(k+1)\,!(n-(k+1))\,!}}$	$\,=$	${\frac {(k+1)n\,!}{(k+1)k\,!(n-k)\,!}}+{\frac {(n-k)n\,!}{(k+1)\,!(n-(k+1))\,!(n-k)}}$
	$\,=$	${\frac {n\,!((k+1)+(n-k))}{(k+1)\,!(n-k)\,!}}$
	$\,=$	${\frac {n\,!(n+1)}{((n+1)-(k+1))\,!(k+1)\,!}}$
	$\,=$	${\frac {(n+1)\,!}{((n+1)-(k+1))\,!(k+1)\,!}}$
	$=$	${n+1 \choose k+1}$