Binomialkoeffizient

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Kombinatorik

Kombinatorik • Binomialkoeffizient • Permutation (Kombinatorik) • Variation (Kombinatorik) • Kombination (Kombinatorik) • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Eulersches Symbol • Kombination mit Wiederholung • Kombination ohne Wiederholung • Permutation mit Wiederholung • Permutation ohne Wiederholung • Variation mit Wiederholung • Variation ohne Wiederholung

Grundbegriffe

Binomialkoeffizient oder Eulersches Symbol

Der Binomialkoeffizient oder Eulersches Symbol {n \choose k}, man liest dieses Symbol: "n über k", wird im Rahmen der Kombinatorik verwendet.

Seien n,k\in \mathbb{N} mit n\geq k, dann ist der Binomialkoeffizient definiert als:

\binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Zusatzinformationen

Spezialfälle

 {n \choose 0} \, =  \frac{n\,!}{0\,! (n-0)\,!} \, = 1
{n\choose 1 } \, =  \frac{n\,!}{1\,! (n-1)\,!} \, = n
{ 0 \choose 0} \, =  { n \choose n } \, = 1
{ n\choose k } \, = \, 0, wenn  k > n \geq 0

Symmetrie-Eigenschaft

 { n \choose k } = {n \choose n-k }

Begründung der Symmetrie-Eigenschaft:

\frac{n\,!}{k\,! (n-k)\,!} = \frac{n\,!}{(n-k)\,! (n-(n-k))\,!}

Summen-Eigenschaft

{n\choose k} + {n \choose k + 1}= {n + 1\choose k + 1 }

Herleitung der Summen-Eigenschaft:

\frac{n\,!}{k\,! (n-k)\,!} + \frac{n\,!}{(k+1)\,! (n-(k+1))\,!}  \,=  \frac{(k+1)n\,!}{(k+1)k\,! (n-k)\,!} + \frac{(n-k)n\,!}{(k+1)\,! (n-(k+1))\,! (n-k)}
\, = \frac{n\,!((k+1) + (n-k))}{(k+1)\,! (n-k)\,!}
\, =  \frac{n\,! (n+1)}{((n+1) - (k+1))\,! (k+1)\,!}
\, = \frac{(n+1)\,!}{((n+1) - (k+1))\,! (k+1)\,!}
 = { n+1\choose k+1 }