Quelltext der Seite Bedingte Wahrscheinlichkeit

{{Wahrscheinlichkeitsrechnung}}

=={{Vorlage:Überschrift}}==

===Bedingte Wahrscheinlichkeit===

Gegeben seien die [[Ereignis]]se <math>A</math> und <math>B</math> eines [[Ereignisraum]]es <math>S</math>. 

Die [[Wahrscheinlichkeit]] für das [[Ereignis]] <math>A</math> unter der Bedingung, dass das [[Ereignis]] <math>B</math> eingetreten ist, bezeichnet man als die ''bedingte Wahrscheinlichkeit'' von <math>A </math> gegeben <math>B</math> und schreibt <math>P( A|B )</math>.

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als

<math>P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0</math>

In analoger Weise gilt

<math>P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\quad P(A)>0</math>

Die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich auch auf Bedingungen, die einen [[Durchschnitt von Ereignissen|Durchschnitt]] von mehreren [[Ereignis]]sen bilden, anwenden. 

Gegeben seien die 3 [[Ereignis]]se <math> A_{1},\; A_{2}</math> und <math>\, A_{3}</math> eines [[Ereignisraum]]es <math>S</math>. Dann ist z.B.

<math>P(A_{1}|A_{2}\cap A_{3})=\frac{P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})}{P(A_{2}\cap A_{3})}, \qquad \mbox{wenn }P(A_{2}\cap A_{3})>0</math>

=={{Vorlage:Beispiele}}==

===Würfelwurf===

Häufig ist man an der [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]] für ein bestimmtes [[Ereignis|Ereignis]] interessiert und verfügt über Informationen über das Eintreten von damit zusammenhängenden [[Ereignis]]sen. Zur Illustration betrachte man einen Würfelwurf. 

Spielerin <math> X </math> braucht unbedingt die Augenzahl 2, um das Spiel zu gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist bekanntlich <math>\frac{1}{6} </math>. 

<math>X</math> würfelt und verkündet ihren Gegnern: "Die Augenzahl ist gerade." 

Sicherlich werden die Gegner von <math>X</math> diese Information miteinbeziehen, wenn sie über die [[Wahrscheinlichkeit]] für eine 2 nachdenken. Formal schreibt man:

<math>P(2|\{2,4,6\}) </math>

und liest: "Die [[Wahrscheinlichkeit]] für eine Zwei, gegeben eine gerade Augenzahl."

Die Lösung ist hier naheliegend. Intuitiv betrachtet man das real gewordene [[Ereignis]] <math>\{2,4,6\}</math> als neue [[Grundgesamtheit]], in der die Zahl 2 mit der [[Wahrscheinlichkeit]] <math> 1/3 </math> vorkommt.

===Schraubenwerkstatt===

Ein Handwerker fertigt zusammen mit seinem Gesellen in Handarbeit Schrauben. Folgende Angaben beziehen sich auf die Jahresproduktion des Betriebes von 2014:

{|style="width:40%"
|Gesamtproduktion:
|2000 Schrauben
|-
|Betriebsteil 1:
|1400 Schrauben
|-
|(Meister)
|1162 Schrauben normgerecht
|-
|
|
|-
|
|
|-
|Betriebsteil 2:
|600  Schrauben
|-
|(Geselle)
|378 Schrauben normgerecht
|}

Da der Absatz schon länger stagniert, liegt die gesamte Jahresproduktion von 2014 in einer Kiste.

Wie hoch ist die [[Wahrscheinlichkeit]], aus dieser Kiste eine normgerechte Schraube zu ziehen, wenn aufgrund der Kennzeichnung bekannt ist, dass diese Schraube im Betriebsteil 1 hergestellt wurde?

Zur Lösung werden folgende [[Ereignis]]se definiert:

'''<math>A</math>''' = <math>\{ \mbox{normgerechte Schraube} \}</math>

'''<math>B </math>''' = <math>\{ \mbox{in Betriebsteil 1 hergestellte Schraube} \}</math>

'''<math>C </math>''' = <math>\{ \mbox{in Betriebsteil 2 hergestellte Schraube} \}</math>

Das [[Venn-Diagramm]] veranschaulicht die Situation:

[[Bild:venn_11.png]]

Gesucht ist <math>P(A|B)</math>. Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als <math> P( A | B ) = \frac{P( A\cap B ) }{ P( B )}</math>. 

Dabei bezeichnet das [[Ereignis]] <math>A\cap B</math> Schrauben, die in Betriebsteil 1 hergestellt wurden und normgerecht sind. 

Um <math>P( A \cap B )</math> zu erhalten, teilt man die Anzahl der Schrauben mit dieser Eigenschaft durch die Gesamtzahl:

<math> P(A\cap B)=\frac{1162}{2000} </math>.

<math>P( B )</math> ergibt sich aus dem Anteil der im Betriebsteil 1 hergestellten Schrauben an der gesamten Produktion:

<math>P(B)=\frac{1400}{2000}</math>.

In der Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit kürzt sich die 2000 weg, man erhält also:

<math> P(A|B)=\frac{1162}{1400}=0.83</math>.

Die [[Wahrscheinlichkeit]], aus der Kiste eine normgerechte Schraube zu ziehen, wenn bekannt ist, dass diese Schraube im Betriebsteil 1 hergestellt wurde, beträgt demnach 83 Prozent.

Beachten Sie, dass sich die vorgeführte Berechnung auf [[relative Häufigkeit]]en gestützt hat. Darf man also von "[[Wahrscheinlichkeit]]en" sprechen? 

In diesem Fall lautet die Antwort: ja, man darf. 

Denn die [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] bezogen sich auf die [[Grundgesamtheit]] (Jahresproduktion 1998) und sind daher mit [[Wahrscheinlichkeit]]en identisch. 

Bei einer Ziehung aus der Produktion der Jahre 2013 und 2014 zusammen wären die obigen [[relative Häufigkeit|relativen Häufigkeiten]] nicht identisch mit [[Wahrscheinlichkeit]]en, wohl aber "Näherungsgrößen" dafür.

[[Kategorie:Statistik I&II]]