Bedingte Verteilung (stochastisch): Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 7. April 2019, 17:03 Uhr

Zufallsvariable

Zufallsvariable • Wahrscheinlichkeitsfunktion • Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion • Verteilungsfunktion (stochastisch) • Randverteilung (stochastisch) • Bedingte Verteilung (stochastisch) • Stochastische Unabhängigkeit • Parameter eindimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Parameter zweidimensionaler Verteilungen (stochastisch) • Multiple Choice • Video • Aufgaben • Lösungen
Bedingte Dichtefunktion • Bedingte Verteilungsfunktion • Bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion • Dichtefunktion (eindimensional) • Dichtefunktion (zweidimensional) • Diskrete Zufallsvariable • Erwartungswert • Erwartungswert (diskret) • Erwartungswert (stetig) • Korrelationskoeffizient (stochastisch) • Kovarianz (stochastisch) • Marginaldichte • Marginale Verteilung (stochastisch) • Randdichte • Randverteilungsfunktion • Realisation • Standardabweichung (stochastisch) • Standardisierung • Stetige Zufallsvariable • Tschebyschev-Ungleichung • Unabhängigkeit (stochastisch) • Varianz (stochastisch) • Varianz (stochastisch, diskret) • Varianz (stochastisch, stetig) • Verteilungsfunktion (stochastisch, eindimensional) • Verteilungsfunktion (stochastisch, zweidimensional) • Verteilungsfunktion der Randverteilung • Wahrscheinlichkeitsdichte (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsdichte (zweidimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (eindimensional) • Wahrscheinlichkeitsfunktion (zweidimensional) • Verteilung (stochastisch) • Wahrscheinlichkeitsverteilung

Grundbegriffe

Bedingte Verteilung oder bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion diskreter Zufallsvariablen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable zu einem bestimmten Wert realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable einen Wert angenommen hat , ist: .

Analog ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die diskrete Zufallsvariable zu einem bestimmten Wert realisiert, unter der Bedingung, dass die diskrete Zufallsvariable einen Wert angenommen hat: .

Aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Def. bedingte Wahrscheinlichkeit) ist bekannt:

Mit und folgt

Die bedingten Verteilungen der diskreten Zufallsvariablen und sind somit gegeben durch

Bedingte Verteilung oder bedingte Dichtefunktion stetiger Zufallsvariablen

Die bedingten Verteilungen der stetigen Zufallsvariablen und sind gegeben durch

Verteilungsfunktion der bedingten Verteilung oder bedingte Verteilungsfunktion

Die bedingten Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen und ergeben sich zu:

Beispiele

Wahlbeteiligung und politisches Interesse

Bei einer Umfrage wurden die Einwohner einer Stadt nach

  • der Wahlbeteiligung an der letzten Bundestagswahl (Zufallsvariable ) mit den möglichen Realisationen ja und nein
sowie
  • dem persönlichen politischen Interesse (Zufallsvariable ) mit den möglichen Realisationen sehr stark, stark, mittel, wenig und überhaupt nicht.

befragt.

Die folgende Kontingenztabelle enthält die Werte der zweidimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktion der beiden Zufallsvariablen:

Wahlbeteiligung politisches Interesse RV
sehr stark stark mittel wenig überhaupt nicht
ja 0,107 0,196 0,398 0,152 0,042 0,895
nein 0,006 0,011 0,036 0,031 0,021 0,105
RV 0,113 0,207 0,434 0,183 0,063 1,000

Aus dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung können die bedingten Verteilungen ermittelt werden.

Verteilungen für Y bedingt auf X

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten :

Wahlbeteiligung politisches Interesse
sehr stark stark mittel wenig überhaupt nicht
ja 0,120 0,219 0,444 0,170 0,047 1,00
nein 0,057 0,105 0,343 0,295 0,200 1,00

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich an der Wahl beteiligt hat ( ja), ist z.B. die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,219.

Dagegen beträgt für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der sich nicht an der Wahl beteiligt hat ( nein), die Wahrscheinlichkeit eines starken politischen Interesses 0,105.

Verteilungen für X bedingt auf Y

Kontingenztabelle mit bedingten Wahrscheinlichkeiten :

Wahlbeteiligung politisches Interesse
sehr stark stark mittel wenig überhaupt nicht
ja () 0,947 0,947 0,917 0,831 0,667
nein () 0,053 0,053 0,083 0,169 0,333
1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Für einen zufällig ausgewählten Einwohner, der z. B. wenig politisches Interesse hat ( wenig), beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Wahlbeteiligung ( ja) 0,831.