Variáveis Aleatórias Unidimensionais

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Uma variável aleatória é definida como unidimensional se do experimento do qual ela é gerada só se possa observar variável aleátoria como resultado.

Variável Aleatória Discreta

Definição: Uma variável aleatória é chamada de discreta se o conjunto de resultados possíveis é finito ou contável.

Função Densidade

Definição: A função densidade fornece a probabilidade de que a variável aleatória seja a . A probabilidade de é . A função densidade pode ser representada graficamente usando-se o histograma.

Função de Distribuição

Definição: A função de distribuição de uma variável aleatória avaliada a cada realização é definida como a probabilidade de que o valor da variável aleatória não seja maior que . A função de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função degrau crescente, cujos acréscimos ocorrem somente nos incrementos de . Tal função é, portanto, constante entre os pontos e . A função de distribuição permite-nos computar a probabilidade de outros eventos envolvendo :. Os dados relativos ao tamanho das famílias residentes em Berlim em abril de 1998 foram retirados da página 64 do “Statistisches Jahrbuch” publicado pelo “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

Pt s2 10 e 1.gif

Número de componentes da família Número de famílias (1000)
1 820.7
2 564.7
3 222.9
4 ou mais 195.8
Soma 1804.1

Se representa o tamanho de uma família escolhida ao acaso em Berlim, em abril de 1998, podemos observar as seguintes realizações:

família composta por uma pessoa
família composta por duas pessoas
família composta por três pessoas
família composta por quatro ou mais pessoas

de escolhermos uma família, não podemos afirmar nada a respeito de seu tamanho. A variável aleatória associada pode tomar qualquer um dos quatro possíveis valores descritos acima. é, portanto, uma variável discreta, já que o conjunto de possíveis valores que suas realizações podem assumir é finito — os valores 1, 2, 3, ou 4. As probabilidades associadas a são fornecidas pela distribuição de freqüências dos tamanhos das famílias em Berlim. A função densidade fornece todos as possíveis realizações da variável aleatória associada ďż˝s suas respectivas probabilidades.

Pt s2 11 e 1.gif

Número de componentes da família
1 0.4549
2 0.3130
3 0.1236
4 0.1085
Soma 1.0000

A probabilidade de que uma família selecionada em abril de 1998 em Berlim seja formada por duas pessoas () é igual a . A função de distribuição é:

Número de componentes da família
1 0.4549
2 0.7679
3 0.8915
4 1.0000

De maneira análoga, a função de distribuição indica que a probabilidade de que uma famíla seja composta de, no máximo, duas pessoas () é igual a . A função de distribuição também permite-nos calcular probabilidades relacionadas a outros resultados, como por exemplo

  • a probabilidade que uma família tenha mais que dois membros () é ou .
  • a probabilidade que uma família tenha mais que um membro mas menos que quatro é igual a ou .

Contagem do número de coroas (k) resultantes de três lançamentos de uma moeda. Definimos a variável aleatória : com os seguintes possíveis valores .

Evento Probabilidade Número de coroas (k) Função de probabilidade

O cálculo das probabilidades é baseado no teorema de probabilidades de eventos independentes.

Função de distribuição da variável discreta:

Pt s2 11 f 1.gif

A função de distribuição é obtida ao se somar as probabilidades de diferentes valores da variável aleatória . Por exemplo Função de distribuição:

Função de distribuição de uma variável aleatória discreta:

Pt s2 11 f 3.gif