Variáveis Aleatórias Unidimensionais

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Uma variável aleatória é definida como unidimensional se do experimento do qual ela é gerada só se possa observar variável aleátoria como resultado.

Variável Aleatória Discreta

Definição: Uma variável aleatória é chamada de discreta se o conjunto de resultados possíveis $x_{1},x_{2},\dots$ é finito ou contável.

Função Densidade

Definição: A função densidade $f$ fornece a probabilidade de que a variável aleatória $X$ seja a $x_{i}$. A probabilidade de $x_{i}$ é $f(x_{i})$. $P(X=x_{i})=f(x_{i})\qquad i=1,2,\dots$ $f(x_{i})\geq 0,\qquad \sum \limits_{i}f(x_{i})=1$ A função densidade pode ser representada graficamente usando-se o histograma.

Função de Distribuição

Definição: A função de distribuição $F$ de uma variável aleatória $X$ avaliada a cada realização $x$ é definida como a probabilidade de que o valor da variável aleatória $X$ não seja maior que $x$. $F(x)=P(X\leq x)=\sum\limits_{x_{i}\leq x}f(x_{i})$ A função de distribuição de uma variável aleatória discreta é uma função degrau crescente, cujos acréscimos ocorrem somente nos incrementos de $x_{i}$. Tal função é, portanto, constante entre os pontos $x_{i}$ e $x_{i+1}$. A função de distribuição permite-nos computar a probabilidade de outros eventos envolvendo $X$:$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a),\text{ ou }P(X>a)=1-F(a)$. Os dados relativos ao tamanho das famílias residentes em Berlim em abril de 1998 foram retirados da página 64 do “Statistisches Jahrbuch” publicado pelo “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

Número de componentes da família	Número de famílias (1000)
1	820.7
2	564.7
3	222.9
4 ou mais	195.8
Soma	1804.1

Se $X$ representa o tamanho de uma família escolhida ao acaso em Berlim, em abril de 1998, podemos observar as seguintes realizações:

$x_{1}=1\$	família composta por uma pessoa
$x_{2}=2\$	família composta por duas pessoas
$x_{3}=3\$	família composta por três pessoas
$x_{4}=4\$	família composta por quatro ou mais pessoas

de escolhermos uma família, não podemos afirmar nada a respeito de seu tamanho. A variável aleatória associada $X=\text{tamanho da família}$ pode tomar qualquer um dos quatro possíveis valores descritos acima. é, portanto, uma variável discreta, já que o conjunto de possíveis valores que suas realizações podem assumir é finito — os valores 1, 2, 3, ou 4. As probabilidades associadas a $X$ são fornecidas pela distribuição de freqüências dos tamanhos das famílias em Berlim. A função densidade fornece todos as possíveis realizações da variável aleatória associada ďż˝s suas respectivas probabilidades.

Número de componentes da família $x_{j}$	$f(x_{j})$
1	0.4549
2	0.3130
3	0.1236
4	0.1085
Soma	1.0000

A probabilidade de que uma família selecionada em abril de 1998 em Berlim seja formada por duas pessoas ($X=2$) é igual a $0.313$. A função de distribuição $F(x)=P(X\leq x)$ é:

Número de componentes da família $x_{j}$	$F(x)$
1	0.4549
2	0.7679
3	0.8915
4	1.0000

De maneira análoga, a função de distribuição indica que a probabilidade de que uma famíla seja composta de, no máximo, duas pessoas ($X\leq 2$) é igual a $0.7679$. A função de distribuição também permite-nos calcular probabilidades relacionadas a outros resultados, como por exemplo

• a probabilidade que uma família tenha mais que dois membros ($X>2$) é $P(X>2)=1-F(2)=1-0.7679=0.2321$ ou $P(X>2)=f(3)+f(4)=0.1236+0.1085=0.2321$.
• a probabilidade que uma família tenha mais que um membro mas menos que quatro é igual a $P(1<X\leq 3)=F(3)-F(1)=0.8915-0.4549=0.4366$ ou $P(1<X\leq 3)=f(2)+f(3)=0.3130+0.1236=0.4366$.

Contagem do número de coroas (k) resultantes de três lançamentos de uma moeda. Definimos a variável aleatória $X$: $X=\{\,\text{ número de coroas resultantes de três lançamentos de uma moeda }\,\}$ com os seguintes possíveis valores $x_{1}=0;x_{2}=1;x_{3}=2;x_{4}=3$.

Evento $E_{j}$	Probabilidade $P(E_{j})$	Número de coroas (k) $x_{j}$	Função de probabilidade $P(X=x_{j})=f(x_{j})$
$E_{1}=\{ccc\}$	$P(E_{1})=0.125$	$x_{1}=0$	$f(x_{1})=0.125$
$E_{2}=\{cck\}$	$P(E_{2})=0.125$
$E_{3}=\{ckc\}$	$P(E_{3})=0.125$	$x_{2}=1$	$f(x_{2})=0.375$
$E_{4}=\{kcc\}$	$P(E_{4})=0.125$
$E_{5}=\{ckk\}$	$P(E_{5})=0.125$
$E_{6}=\{kck\}$	$P(E_{6})=0.125$	$x_{3}=2$	$f(x_{3})=0.375$
$E_{7}=\{kkc\}$	$P(E_{7})=0.125$
$E_{8}=\{kkk\}$	$P(E_{8})=0.125$	$x_{4}=3$	$f(x_{4})=0.125$

O cálculo das probabilidades $P(E_j)$ é baseado no teorema de probabilidades de eventos independentes.

Função de distribuição da variável discreta:

A função de distribuição é obtida ao se somar as probabilidades de diferentes valores da variável aleatória $X$. Por exemplo $F(1)=f(0)+f(1)=0.125+0.375=0.5$ Função de distribuição: $F(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{for}\ x<0 \\ 0.125\, & \text{for}\ 0\leq x<1 \\ 0.500\, & \text{for}\ 1\leq x<2 \\ 0.875\, & \text{for}\ 2\leq x<3 \\ 1.000\, & \text{for}\ 3\leq x \end{array} \right.$

Função de distribuição de uma variável aleatória discreta: