La variabile casuale unidimensionale

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La variabile casuale à detta unidimensionale se per un esperimento aleatorio possiamo osservare solo variabile casuale.

Le variabili casuali discrete

Definizione: Una variabile casuale si dice discreta se si riferisce a un numero finito o a un’infinità numerabile di risultati $x_1, x_2, \dots$ .

La funzione di probabilità

Definizione: La funzione di probabilità $f$ definisce le probabilità con le quali una variabile casuale $X$ assume il valore $x_i$. La probabilità di $x_i$ à $f(x_i)$. $P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i = 1, 2, \dots$ $f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i f(x_i) = 1$ La rappresentazione grafica della funzione di probabilità à data da un istogramma o da un diagramma a punti.

La funzione di ripartizione

Definizione: La funzione di ripartizione $F$ di una variabile casuale $X$ nel valore $x$ definisce la probabilità che il valore della variabile casuale $X$ non sia maggiore di $x$. $F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i \leq x} f(x_i)$ La rappresentazione grafica della funzione di ripartizione à data da una funzione a gradini. La funzione si alza nei punti $x_i$ esattamente della quantità $f(x_i)$ mentre tra i diversi punti $x_i$ rimane costante. Grazie alla funzione di ripartizione si lasciano definire altre probabilità $P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ oppure } P(X > a) = 1 - F(a)$. A pagina 64 del “Statistisches Jahrbuch” pubblicato da “Statistisches Landesamt Berlin” edizioni Kulturbuch-Verlag Berlin à riportata la composizione delle famiglie di Berlino nel 1998.

Numero dei componenti della famiglia	Numero di famiglie (1000)
1	820,7
2	564,7
3	222,9
4 e pià	195,8
Somma	1804,1

Se $X$ indica il numero dei componenti di una famiglia selezionata casualmente a Berlino nel 1998 allora i valori assunti dalla variabile casuale saranno:

$x_1 = 1 \$	famiglia composta da una persona
$x_2 = 2 \$	famiglia composta da due persone
$x_3 = 3 \$	famiglia composta da tre persone
$x_4 = 4 \$	famiglia composta da quattro e pià persone

di selezionare la famiglia non possiamo ancora dire niente sul numero dei suoi componenti. $X = \ \text{numero dei componenti della famiglia}$ à quindi una variabile casuale. à discreta in quanto il numero dei valori che puà assumere à limitato ai numeri 1, 2, 3, oppure 4. Le probabilità associate ai diversi valori di $X$ sono date dalle frequenze relative delle diverse famiglie di Berlino (utilizziamo la definizione statistica di probabilità). La funzione di probabilità fornisce la probabilità associata a ciascun valore.

Numero di componenti della famiglia $x_j$	$f(x_j)$
1	0,4549
2	0,3130
3	0,1236
4	0,1085
Somma	1,0000

La probabilità che la famiglia selezionata nell’aprile 1998 a Berlino abbia due componenti ($X=2$) à di $0.313$. La funzione di ripartizione $F(x) = P(X \leq x)$ à:

Numero dei componenti della famiglia $x_j$	$F(x)$
1	0,4549
2	0,7679
3	0,8915
4	1,0000

Dalla funzione di ripartizione si puà per esempio dedurre che la probabilità che la famiglia selezionata abbia al massimo due componenti ($X \leq 2$) à di $0.7679$. Si possono calcolare anche altre probabilità

• la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di due componenti ($X > 2$) is $P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321$ o
  

$P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321$.

• la probabilità che la famiglia selezionata abbia pià di un componente ma al massimo tre -che abbia quindi due o tre componenti
  

$P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366$ o $P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366$. Contiamo il numero di croci (c) in tre lanci di una moneta.

Definiamo la variabile casuale $X$: $X = \{\,\text{Numero di croci in tre lanci della moneta}\,\}$ con i seguenti possibili valori $x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 2; x_4 = 3$.

Evento $E_j$	Probabilità $P(E_j)$	Numero di croci (c) $x_j$	Funzione di probabilità $P(X = x_j) = f(x_j)$
$E_1 = \{ttt\}$	$P(E_1) = 0,125$	$x_1 = 0$	$f(x_1) = 0,125$
$E_2 = \{ttc\}$	$P(E_2) = 0,125$
$E_3 = \{tct\}$	$P(E_3) = 0,125$	$x_2 = 1$	$f(x_2) = 0,375$
$E_4 = \{ctt\}$	$P(E_4) = 0,125$
$E_5 = \{tcc\}$	$P(E_5) = 0,125$
$E_6 = \{ctc\}$	$P(E_6) = 0,125$	$x_3 = 2$	$f(x_3) = 0,375$
$E_7 = \{cct\}$	$P(E_7) = 0,125$
$E_8 = \{ccc\}$	$P(E_8) = 0,125$	$x_4 = 3$	$f(x_4) = 0,125$

Il calcolo delle probabilità $P(E_j)$ à stato effettuato grazie al teorema delle probabilità composte per eventi indipendenti.

La funzione di probabilità per variabili casuali discrete:

La funzione di ripartizione à semplicemente la probabilità cumulata dei singoli eventi della variabile casuale $X$. Per esempio $F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 = 0,5$ Funzione di ripartizione: $F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{per }\ x<0\\ 0,125 \, & \text{per }\ 0 \leq x < 1\\ 0,500 \, & \text{per }\ 1 \leq x < 2\\ 0,875 \, & \text{per }\ 2 \leq x < 3\\ 1,000 \, & \text{per }\ 3 \leq x \end{array} \right.$

Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta: