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{{Languages|Basics: One-Dimensional Random Variables}}
{{DISPLAYTITLE:Variables aléatoires unidimensionnelles }}

Une variable aléatoire est qualifiée d’unidimensionnelle si, lors d’une [[Glossary/fr#E|expérience]] , on ne s’intéresse qu’à (une seule) caractéristique.
== Variables aléatoires discrètes ==
Définition:
Une variable aléatoire est discrète si l’ ensemble de tous les résultats possibles est <math>x_1, x_2, \dots</math> fini ou dénombrable.

<span>'''Fonction de poids'''</span>

Définition:
La fonction de poids <math>f</math> donne la [[Glossary/fr#P|probabilité]] (probabilité) avec laquelle le résultat de la variable aléatoire <math>X</math> est à la valeur <math>x_i</math>. La probabilité de <math>x_i</math> est <math>f(x_i)</math>. <math>P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i = 1, 2, \dots</math> <math>f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i f(x_i) = 1</math>
On peut représenter graphiquement la loi de probabilité point par point ou á l’aide dhistogrammes.

<span>'''Fonction de répartition'''</span>

Définition:
Une fonctionde de répartition <math>F</math> d' une variable aléatoire <math>X</math> au point <math>x</math> est définie comme la probabilité (de l’ événement aléatoire) que la valeur la valeur de la variable aléatoire <math>X</math> ne soit pas plus grande que <math>x</math>. <math>F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i \leq x} f(x_i)</math>
Le graphique de la fonction ré partition d' une variable aléatoire discrète est une fonction croissante en escalier qui augmente au point correspondant aux valeurs des résultats possibles <math>x_i</math>. l’augmentation en un point <math>x_i</math> est égale à <math>f(x_i)</math>. la fonction de répartition est constante entre les points <math>x_i</math>.
La fonction de répartition permet de calculer la probabilité dáutres événements concernant la variable aléatoire <math>X</math>:<br />
<math>P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ or } P(X > a) = 1 - F(a)</math>.
Les tailles des ménages berlinois en avril 1988 sont données en page 64 du “Statistisches Jahrbuch” publié par “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

[[File:fr_s2_10_e_1.gif]]

{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''taille du ménage'''</span>
!align="center"| <span>'''nombre de ménages (1000)'''</span>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 820,7
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 564,7
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 222,9
|-
|align="center"| 4 et plus
|align="center"| 195,8
|-
|align="center"| <span>'''Sum'''</span>
|align="center"| <span>'''1804,1'''</span>
|}
<br />
Soit <math>X</math>, la taille dún ménage choisi au hasard. On peut obtenir les résultats suivants :
{|class="wikitable"
|align="center"| <math>x_1 = 1 \ </math>
| ménage d' une personne
|-
|align="center"| <math>x_2 = 2 \ </math>
| ménage de deux personnes
|-
|align="center"| <math>x_3 = 3 \ </math>
| ménage de trois personnes
|-
|align="center"| <math>x_4 = 4 \ </math>
| ménage de quatre personnes et plus
|}
<br />
d�avoir choisi le ménage, on ne peut rien dire de sa taille. La valeur de la variable aléatoire peut être chacune de ces quare probabilités. <math>X = \ \text{household size}</math> est une variable aléatoire. Elle est discrète, car l’ ensemble de ses valeurs possibles est fini—le résultat doit être soit 1, 2, 3 ou 4.
Les probabilités sont données à partir des fréquences relatives dans l’ ensemble des ménages de Berlin. La loi de probabilité nous donne un aperc<span>c</span>u de l�ensemble des résultats possibles ainsi que de leur probabilité.

[[File:fr_s2_11_e_1.gif]]

{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''taille du ménage <math>x_j</math>'''</span>
!align="center"| <math>f(x_j)</math>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 0,4549
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 0,3130
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 0,1236
|-
|align="center"| 4
|align="center"| 0,1085
|-
|align="center"| Sum
|align="center"| 1,0000
|}
<br />
La probabilité que la taille du ménage choisi au hasard soit de deux (<math>X=2</math>), est égale to <math>0.313</math>. La fonction de répartition <math>F(x) = P(X \leq x)</math> est:
{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Taille du ménage <math>x_j</math>'''</span>
!align="center"| <math>F(x)</math>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 0,4549
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 0,7679
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 0,8915
|-
|align="center"| 4
|align="center"| 1,0000
|}
<br />
La fonction de répartition montre que la probabilité que le ménage choisi au hasard ait au moins deux membres (<math>X \leq 2</math>) est égale à <math>0.7679</math>. Cela nous permet de calculer dáutres probabilités, par exemple :
* <span>la probabilité que le ménage choisi ait plus que deux membres (<math>X > 2</math>) est égale à :<br />
<math>P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321 </math> or<br />
<math>P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321</math>.</span>
* <span>la probabilité que le ménage choisi ait plus dún membre mais moins que quatre, c-à-d qu�il ait deux ou trois membres, est égale à :<br />
<math>P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366</math> ou <math>P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366</math>.</span>
On compte le nombre de piles (p) lors du lancer d' une pièce.
On définit la variable aléatoire <math>X</math>: <math>X = \{\,\text{Nombre de piles en trois lancers}\,\}</math> avec les résultats possibles suivants <math>x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 =
2; x_4 = 3</math>.
{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Evénement'''</span> <math>E_j</math>
!align="center"| Probabilité <math>P(E_j)</math>
!align="center"| Nomnbre de piles (t) <math>x_j</math>
!align="center"| Loi de probabilité <math>P(X = x_j) = f(x_j)</math>
|-
|align="center"| <math>E_1 = \{hhh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_1) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_1 = 0 </math>
|align="center"| <math>f(x_1) = 0,125</math>
|-
|align="center"| <math>E_2 = \{hho\}</math>
|align="center"| <math> P(E_2) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_3 = \{hoh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_3) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_2 = 1 </math>
|align="center"| <math>f(x_2) = 0,375 </math>
|-
|align="center"| <math>E_4 = \{ohh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_4) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_5 = \{hoo\}</math>
|align="center"| <math> P(E_5) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_6 = \{oho\}</math>
|align="center"| <math> P(E_6) = 0,125</math>
|align="center"| <math>x_3 = 2</math>
|align="center"| <math>f(x_3) = 0,375</math>
|-
|align="center"| <math>E_7 = \{ooh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_7) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_8 = \{ooo\}</math>
|align="center"| <math> P(E_8) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_4 = 3</math>
|align="center"| <math> f(x_4) = 0,125 </math>
|}
<br />
Le calcul des probabiltés <math>P(E_j)</math> est basé sur le théorème de multiplication des événements aléatoires indépendants.

<span>'''loi de probabilité'''</span> d' une variables aléatoire discrète :

[[File:fr_s2_11_f_1.gif]]

La fonction de répartition est obtenue en sommant les probabilités des différents résultats de la variable aléatoire <math>X</math>.
Par exemple <math>F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 = 0,5</math> <span>'''fonction de répartition :'''</span> <math>F(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
                    0 & \text{pro}\ x<0\\
                    0,125 \, & \text{pro}\ 0 \leq x < 1\\
                    0,500 \, & \text{pro}\ 1 \leq x < 2\\
                    0,875 \, & \text{pro}\ 2 \leq x < 3\\
                    1,000 \, & \text{pro}\ 3 \leq x
                  \end{array} \right.</math>

<span>'''Fonction de répartition d' une variable aléatoire discrète :'''</span>

[[File:fr_s2_11_f_3.gif]]