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{{Languages|Basics: One-Dimensional Random Variables}}
{{DISPLAYTITLE:Variables Aleatorias Unidimensionales }}

Las variables aleatorias se denominan unidimensionales si en un [[Glossary/es#E|experimento]] consideramos sólo [[Glossary/es#R|resultado]].
== Variable aleatoria discreta ==
Definición:
Una variable aleatoria se denomina discreta si el conjunto de todos sus posibles resultados <math>x_1, x_2, \dots</math> es finito o infinito numerable.

<span>'''Función de probabilidad'''</span>

Definición:
La funcíon de probabilidad <math>f</math> da la [[Glossary/es#P|probabilidad]] de que el resultado de una variable aleatoria sea <math>X</math> al valor <math>x_i</math>. La probabilidad de <math>x_i</math> es <math>f(x_i)</math>. <math>P(X = x_i) = f(x_i) \qquad i
= 1, 2, \dots</math> <math>f(x_i) \geq 0, \qquad \sum\limits\limits_i
f(x_i) = 1</math>
La representación gráfica de la función de probabilidad se puede realizar utilizando un gráfico de probabilidad o histograma.

<span>'''Función de distribución'''</span>

Definición:
La función de distribución <math>F</math> de una variable aleatoria <math>X</math> en el punto <math>x</math> se define como la probabilidad (del suceso aleatorio) de que el valor de la variable aleatoria <math>X</math> no sea mayor que <math>x</math>. <math>F(x) = P(X \leq x) = \sum\limits\limits_{x_i
\leq x} f(x_i)</math>
El gráfico de la función de distribución de una variable aleatoria es una función escalón que aumenta sólo en los puntos (posibles resultados) <math>x_i</math>. El incremento en el punto <math>x_i</math> es igual a <math>f(x_i)</math>. La función de distribución es constante entre los puntos <math>x_i</math>.
La función de distribución nos permite calcular probabilidades de otros sucesos que se refieren a la variable aleatoria <math>X</math>:<br />
<math>P(a < X \leq b) = F(b) - F(a), \text{ o } P(X > a) = 1 - F(a)</math>.
El tamaño de los hogares en Berlin en Abril de 1998 se da en la página 64 del “Statistisches Jahrbuch” (anuario estadístico) publicado por “Statistisches Landesamt Berlin”, Kulturbuch-Verlag Berlin.

[[File:es_s2_10_e_1.gif]]

{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Tamaño del hogar'''</span>
!align="center"| <span>'''Número de hogares (1000)'''</span>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 820,7
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 564,7
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 222,9
|-
|align="center"| 4 y más
|align="center"| 195,8
|-
|align="center"| <span>'''Sum'''</span>
|align="center"| <span>'''1804,1'''</span>
|}
<br />
Sea <math>X</math> el tamaño de un hogar elegido al azar en Berlin en 1998. Obtenemos los siguientes resultados:
{|class="wikitable"
|align="center"| <math>x_1 = 1 \ </math>
| hogar con una persona
|-
|align="center"| <math>x_2 = 2 \ </math>
| hogar con dos personas
|-
|align="center"| <math>x_3 = 3 \ </math>
| hogar con tres personas
|-
|align="center"| <math>x_4 = 4 \ </math>
| hogar con cuatro personas o más
|}
<br />
de elegir el hogar, no podemos decir nada sobre el tamaño. El valor de la variable aleatoria puede ser cualquiera de las cuatro posibilidades. <math>X = \ \text{tamaño del hogar}</math> es una variable aleatoria. Es discreta, porque el conjunto de posibles valores es finito—el resultado tiene que ser uno de los números 1, 2, 3, o 4.
Las probabilidades son dadas por las frecuencias relativas en el conjunto de los hogares de Berlin. La función de probabilidad suministra una visión general de todos los posibles resultados junto con sus probabilidades.

[[File:es_s2_11_e_1.gif]]

{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Tamaño del hogar <math>x_j</math>'''</span>
!align="center"| <math>f(x_j)</math>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 0,4549
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 0,3130
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 0,1236
|-
|align="center"| 4
|align="center"| 0,1085
|-
|align="center"| Suma
|align="center"| 1,0000
|}
<br />
La probabilidad de que un hogar elegido aleatoriamente (en Berlin en 1998) esté compuesto por dos personas (<math>X=2</math>) es igual a <math>0.313</math>. La función de distribución <math>F(x) = P(X \leq x)</math> es:
{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Tamaño del hogar <math>x_j</math>'''</span>
!align="center"| <math>F(x)</math>
|-
|align="center"| 1
|align="center"| 0,4549
|-
|align="center"| 2
|align="center"| 0,7679
|-
|align="center"| 3
|align="center"| 0,8915
|-
|align="center"| 4
|align="center"| 1,0000
|}
<br />
La función de distribución muestra la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga más de dos miembros (<math>X \leq 2</math>) es igual a <math>0.7679</math>. Esto nos permite calcular otro tipo de probabilidades, por ejemplo
* <span>la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga más de dos miembros (<math>X > 2</math>) es <math>P(X > 2) = 1 - F(2) = 1 - 0,7679 = 0,2321 </math> o<br />
<math>P(X > 2) = f(3) + f(4) = 0,1236 + 0,1085 = 0,2321</math>.</span>
* <span>la probabilidad de que un hogar elegido aleatoriamente tenga más de un mienbro pero menos de cuatro, es decir, que tenga dos o tres miembros es<br />
<math>P(1 < X \leq 3) = F(3) - F(1) = 0,8915 - 0,4549 = 0,4366</math> o <math>P(1 < X \leq 3) = f(2) + f(3) = 0,3130 + 0,1236 = 0,4366</math>.</span>
Contamos el número de caras (t) en tres lanzamientos de una moneda.
Definimos la variable aleatoria <math>X</math>: <math>X = \{\,\text{El número de caras en tres lanzamientos de una moneda}\,\}</math> con los siguientes resultados posibles <math>x_1 = 0; x_2 = 1; x_3 = 2; x_4 =
3</math>.
{|class="wikitable"
!align="center"| <span>'''Suceso'''</span> <math>E_j</math>
!align="center"| Probabilidad <math>P(E_j)</math>
!align="center"| Número de caras (t) <math>x_j</math>
!align="center"| Función de probabilidad <math>P(X = x_j) = f(x_j)</math>
|-
|align="center"| <math>E_1 = \{hhh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_1) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_1 = 0 </math>
|align="center"| <math>f(x_1) = 0,125</math>
|-
|align="center"| <math>E_2 = \{hho\}</math>
|align="center"| <math> P(E_2) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_3 = \{hoh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_3) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_2 = 1 </math>
|align="center"| <math>f(x_2) = 0,375 </math>
|-
|align="center"| <math>E_4 = \{ohh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_4) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_5 = \{hoo\}</math>
|align="center"| <math> P(E_5) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_6 = \{oho\}</math>
|align="center"| <math> P(E_6) = 0,125</math>
|align="center"| <math>x_3 = 2</math>
|align="center"| <math>f(x_3) = 0,375</math>
|-
|align="center"| <math>E_7 = \{ooh\}</math>
|align="center"| <math> P(E_7) = 0,125</math>
|align="center"|
|align="center"|
|-
|align="center"| <math>E_8 = \{ooo\}</math>
|align="center"| <math> P(E_8) = 0,125</math>
|align="center"| <math> x_4 = 3</math>
|align="center"| <math> f(x_4) = 0,125 </math>
|}
<br />
El cálculo de las probabilidades <math>P(E_j)</math> está basado en el Teorema del Producto para sucesos aleatorios independientes.

<span>'''Función de probabilidad'''</span> de una variable aleatoria discreta:

[[File:es_s2_11_f_1.gif]]

La función de distribución se obtiene mediante la suma de las probabilidades de los distintos resultados de la variable aleatoria <math>X</math>. Por ejemplo <math>F(1) = f(0) + f(1) = 0,125 + 0,375 =
0,5</math> <span>'''Función de distribución:'''</span> <math>F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
                    0 & \text{si}\ x<0\\
                    0,125 \, & \text{si}\ 0 \leq x < 1\\
                    0,500 \, & \text{si}\ 1 \leq x < 2\\
                    0,875 \, & \text{si}\ 2 \leq x < 3\\
                    1,000 \, & \text{si}\ 3 \leq x
                  \end{array} \right.</math>

<span>'''La función de distribución de una variable aleatoria discreta:'''</span>

[[File:es_s2_11_f_3.gif]]