Tendência de séries temporais

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A análise de séries temporais começa com extração do componente de longo prazo, ou tendência, dos valores observados. Existem diferentes métodos de extração que produzem diferentes tendências para a mesma série. A escolha de um método particular requer a comparação das vantagens e desvantagens associadas a tal procedimento. Neste capítulo, o método das médias móveis e o método dos mínimos quadrados serão discutidos.

Método das médias móvies

Neste método, a tendência estimada em cada ponto no tempo é igual ďż˝ média ponderada dos dados observados originalmente : $T(t)=\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}x_{t+i}\,,$ onde $\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$ O conjunto de pesos $\lambda _{i}$ é chamado filtro. A escolha do filtro adequado depende da variação periódica /sazonal e da suavidade desejada. Utilizaremos, na maioria dos casos, filtros simétricos ($a=b$), que incluem valores passados bem como presentes. Se os pesos $\lambda _{i}$ de um filtro são iguais para qualquer $i$, o filtro é chamado de média móvel simples, do contrário, média móvel ponderarda. Janela: A média móvel ponderada é calculada em uma janela dos dados originais. A escolha de $a$ e $b$ determina o comprimento de abertura da janela de dados a ser utilizada. Obviamente a série da tendência estimada pode ser no máximo do mesmo tamanho da série original (se $a=b=0$). Quanto maior a janela escolhida, menor é o número de valores da tendência que pode ser calculado e mais suave é a tendência resultante. Filtros freqüentemente utilizados para séries temporais com variação sazonal: Filtros simétricos ($a=b$) são geralmente especificados de modo que $2a+1$ fatores estejam entre colchetes. Para alisar séries temporais sazonais utilizamos filtros que extraem variações periódicas dos dados originais para o cálculo da tendência, como os seguintes:

• dados semestrais $\lbrack 1/4,\ 1/2,\ 1/4]\quad (a=1)$ $\lbrack 1/8,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/8]\quad (a=2)$
• dados trimestrais $\lbrack 1/8,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/8]\quad (a=2)$ $\lbrack 1/16,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/8,\ 1/16]\quad (a=4)$
• dados mensais $\lbrack 1/24,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/12,\ 1/24]\quad (a=6)$

Exemplo (dados trimestrais): Número de novos licenciamentos de carros em Berlim 1977:1 - 1989:4Filtro: $[1/8,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/4,\ 1/8]$vermelho: série original preto: série alisada (tendência)

Método dos mínimos quadrados

O método dos mínimos quadrados é outro procedimento de estimaçã o da tendência de uma série temporal. Tal método é discutido em detalhe no capítulo sobre análise de regressão. Um certo conjunto de funçcoes que descrevem a tendência como funçao do tempo $t$ é escolhido e os parâmetros destas funções são estimados. Tais parâmetros minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre a série original e a tendência estimada. $\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}\rightarrow {\text{min.}}$ A seguir, derivamos expressões para os estimadores por mínimos quadrados de tendência linear e exponencial

Tendência linear

Supondo-se que a variável $X$ dependa linearmente do tempo $t$ ${\widehat {x}}_{t}=a+b\cdot t$ A soma dos quadrados dos resíduos depende dos parâmetros $a$ e $b$ $S(a,b)=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-a-b\cdot t)^{2}\rightarrow \ {\text{min.}}$ a minimização resulta nos seguintes estimadores dos parâmetros $a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ $b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t-\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ Exemplo: Índice de preços de prestação de servicços em Berlim 1977:1 - 1989:4 ${\widehat {x}}_{t}=99.12+1.701\cdot t\qquad R^{2}=0.9923$ where $t=0$ corresponds to 1976:4.

Tendência exponencial

Suponhamos que a variável $X$ dependa exponencialmente do tempo $t$ da seguinte forma ${\widehat {x}}_{t}=ab^{t}\,,$ ou, de maneira eqüivalente, em forma logarítmica $\log {\widehat {x}}_{t}=(\log a)t\log b$ O método dos minimos quadrados resulta nos seguintes estimadores dos parâmetros: $\log a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ $\log b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}-\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ Exemplo: Número de telefones nos EUA (em $1000$) 1900 - 1970 $\log {\widehat {x}}_{t}=3.553645+0.021448\cdot t$ $R^{2}=0.9923$ aonde $t=0$ corresponde ao ano 1899. ${\widehat {x}}_{t}=3,578.04\cdot (1.051)^{t}$

Explicação Selecione uma a ser alisada com XploRe. Você pode editar diretamente o programa em XploRe. Explicaçã Selecione uma série temporal, a ser decomposta em tendência e resíduos. A tendência é estimada pelo método das janelas móveis. Além disso, vários filtros são disponíveis. Sugestão Selecione sucessivamente diferentes filtros e observe o efeito do filtro selecionado na tendência estimada. Preste atenção nos resíduos. As fltuações nos resíduos variam com o tempo ? Existem outliers ? Dados Estão disponíveis os seguintes dados:

• DAX índice das ações negociadas na bolsa de valores de FrankfurtMudanca percentual anual observada em 31 de dezembro.Período de tempo: Dezembro de 1960 - Dezembro de 1997 Periodicidade (freqüencia): dados anuais Nota: até 1987 o índice do Deutsche Börsenzeitung foi utilizado
• Renda públicaMudanças na renda de todos os orçametos públicos na Alemanha em %. Período: 1951 – 1991 Periodicidade (frequência): dados anuais
• Balança de pagamentosBalança de pagamentos da AlemanhaPeríodo: 1977 – 1995 Periodicidade (frequência): dados anuais
• Dívida públicaEndividamento dos orçamentos públicos na Alemanha (mudança percentual relativa ao último ano)Período: 1967:4 – 1997:3Periodicidade (frequência): dados trimestrais

As seguintes séries temporais descrevem a evolução da balança de pagamentos (em milhões de DM) da Alemanha entre 1977 e 1995. A tendência destas séries temporais é estimada através do método das médias móveis, que possui a seguinte forma $T(t)=\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}x_{t+i}\,,\ {\text{with}}\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1\,.$ Para que os valores passados e futuros sejam ponderados com o mesmo peso para a estimação da tendência em $t$, escolhemos $a=b$. Ao alisarmos dados anuais, utilizamos médias móveis simples, aonde todos os fatores possuem o mesmo valor. A soma dos fatores na área de suporte (janela) deve ser igual a 1, ou seja: $\lambda _{i}={\frac {1}{2a+1}}\quad \forall i\,.$ Nesta tabela a média móvel T(t) foi calculada com $a=1$, $a=2$ e $a=3$.

year	$t$	Balança de pagamentos	$T(t)$	$T(t)$	$T(t)$
			$a=1$	$a=2$	$a=3$
1977	1	9478
1978	2	18003	5483,3
1979	3	-11031	-7169,3	-4754,2
1980	4	-28480	-17084	-4676,6	-476
1981	5	-11741	-10118,3	-6162,6	2161,4
1982	6	9866	2899,3	1631,6	6493,4
1983	7	10573	16126,3	16993	20325,4
1984	8	27940	28946,7	36499,8	36122,1
1985	9	48327	54020	50946	50418,9
1986	10	85793	72072,3	66498,6	63874,7
1987	11	82097	85408,7	81722	64551,3
1988	12	88336	91496,7	75118,4	56000,4
1989	13	104057	69234	51576,6	44779,3
1990	14	15309	29150	29113	29186
1991	15	-31916	-15609,3	6774,4	12573,9
1992	16	-30221	-28498	-20875,2	-4876,7
1993	17	-23357	-29256,3	-30700,6
1994	18	-34191	-30455,3
1995	19	-33818

Se $a=1$, a tendência para o período $t=1$ não pode ser estimada porque o valor da série temporal é desconhecido em $t=0$. Para $t=2$ a tendência estimada é $(9,478)/3+(18,003)/3+(-11,031)/3=5,483.3$. No diagrama abaixo, três métodos alternativos de estimação da tendência de longo prazo são comparados.

Notam-se duas importantes características dos métodos:

• Quanto maior a área de suporte na qual a tendência é estimada, menor é o númeo de valores da tendência que podem ser estimados.
• A tendência estimada torna-se mais suave com o aumento da área de suporte, ou seja, com o aumento de b+a).

ordem do modelo de médias móveis domain: número ($k=a=b$) de observações passadas utilizados no cálculo das médias.

• ordem ímpar: $2k+1$:$X_{t}^{\star }={\frac {1}{2k+1}}\sum _{i=t-k}^{t+k}X_{i}\qquad t=k+1,\dots ,T-k$

  Exemplo:

  $k$	$1$	$2$
  ordem	$2k+1=3$	$2k+1=5$
  $x_{1}$	$x_{1}^{\star }$  n.a.	$x_{1}^{\star }$  n.a.
  $x_{2}$	$x_{2}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=1}^{3}x_{i}$	$x_{2}^{\star }$  n.a.
  $x_{3}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=2}^{4}x_{i}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=1}^{5}x_{i}$
  $x_{4}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=3}^{5}x_{i}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=2}^{6}x_{i}$
  $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
  $x_{T-2}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=T-4}^{T}x_{i}$
  $x_{T-1}$	$x_{T-1}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-2}^{T}x_{i}$	$x_{4}^{\star }$  n.a.
  $x_{T}$	$x_{T}^{\star }$  n.a.	$x_{T}^{\star }$  n.a.

  Aonde n.a., significa que não é possível , neste ponto particular do tempo ,estimar a tendência com os dados disponíveis ou com os fatores utilizados.

• ordem par $2k$:

  $X_{t}^{\star }={\frac {1}{2k}}\left[{\frac {1}{2}}X_{t-k}+{\frac {1}{2}}X_{t+k}+\sum _{i=t-(k-1)}^{t+(k-1)}X_{i}\right]\qquad t=k+1,\dots ,T-k$

  Exemplo:

  $k$	$1$	$2$
  ordem	$2k=2$	$2k=4$
  $x_{1}$	$x_{1}^{\star }$  n.a.	$x_{1}^{\star }$  n.a.
  $x_{2}$	$x_{2}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}x_{3}+x_{2}\right]$	$x_{2}^{\star }$  n.a.
  $x_{3}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{2}+{\frac {1}{2}}x_{4}+x_{3}\right]$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}x_{5}+\sum _{i=2}^{4}x_{i}\right]$
  $x_{4}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{3}+{\frac {1}{2}}x_{5}+x_{4}\right]$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{2}+{\frac {1}{2}}x_{6}+\sum _{i=3}^{5}x_{i}\right]$
  $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
  $x_{T-2}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-3}+{\frac {1}{2}}x_{T-1}+x_{T-2}\right]$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-4}+{\frac {1}{2}}x_{T}+\sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}\right]$
  $x_{T-1}$	$x_{T-1}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-2}+{\frac {1}{2}}x_{T}+x_{T-1}\right]$	$x_{T-1}^{\star }$ n.a.
  $x_{T}$	$x_{T}^{\star }$  n.a.	$x_{T}^{\star }$   n.a.