Il trend di una serie temporale

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L’analisi di una serie temporale incomincia con l’individuazione del comportamento a lungo termine o il trend dei valori osservati. Per fare cià abbiamo a disposizione diversi metodi che ci forniscono diversi trend per la stessa serie temporale. La scelta di uno di questi metodi comporta chiaramente la valutazione dei vantaggi e dei difetti di tale metodo. In questo capitolo considereremo il metodo della media mobile e quello dei minimi quadrati.

Il metodo della media mobile

In tale metodo il trend à dato dalla media ponderata su pià periodi dei dati originali calcolata in ogni punto nel tempo. con L’insieme dei pesi à detto filtro. La scelta dei filtri dipende dal tipo di fluttuazioni stagionali e dall’appiattimento del trend che si desidera. Normalmente si utilizzano filtri simmetrici che assegnano ai periodi passati e a quelli futuri lo stesso peso. Se i filtri hanno pesi tutti uguali per ogni abbiamo una media mobile semplice, in caso contrario abbiamo medie mobili ponderate. Area di supporto:
La media ponderata viene calcolata considerando un dato periodo dei dati originali detto area di supporto. In principio, possiamo determinare una serie con il trend stimato lunga tanto quanto il periodo dell’area di supporto (uguaglianza se ). Tanto pià ampia à l’area di supporto tanto minore à il numero dei valori del trend che possiamo calcolare e tanto pià piatta sarà la serie risultante. Filtri utilizzati pià comunemente nelle serie con fluttuazioni stagionali: I filtri simmetrici () vengono solitamente specificati indicando i pesi uno accanto all’altro in parentesi quadra. Per “appiattire” le serie temporali stagionali utilizziamo i seguenti filtri. Tali filtri ci permettono di calcolare il trend “filtrando” le oscillazioni stagionali.

  • Dati semestrali
  • Dati trimestrali
  • Dati mensili

Esempio (dati trimestrali): Numero di macchine immatricolate a Berlino 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989
Filtro:
rosso: serie originale
nero: serie filtrata (trend)

En folimg377.gif

Il metodo dei minimi quadrati

Per determinare il trend di una serie temporale possiamo anche utilizzare il metodo dei minimi quadrati. Il metodo à stato illustrato nel capitolo sulla regressione. Scegliamo una famiglia di funzioni che descrivono il trend in funzione del tempo e stimiamo i loro parametri. La stima dei parametri minimizza la somma degli scarti quadratici medi del trend dai dati originali: Nel seguito deriviamo gli stimatori per un trend lineare e un trend esponenziale.

Trend lineare

Supponiamo che la variabile à una funzione lineare del tempo La somma dei residui quadrati in relazione dei parametri e à Minimizzando abbiamo i seguenti parametri Esempio: Prezzo per i servizi a Berlino 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989 corrisponde al 4. trimestre del 1976.

En folimg386.gif

Trend esponenziale

Supponiamo che la variabile à una funzione esponenziale del tempo del tipo in forma logaritimica La minimizzazione ci fonisce i seguenti parametri Esempio: Numero dei telefoni negli USA (in ) 1900 - 1970 corrisponde al 1899.

En folimg394.gif

Spiegazione
Selezionate una serie temporale che verrà filtrata da XploRe. Potete inoltre osservare il codice di XploRe e cambiarlo se desiderate. Spiegazione Potete ora selezionare una serie temporale, che verrà scomposta in trend, fluttuazioni stagionali e residui. Si prega di fare attenzione alla periodicità della rilevazione (per esempio mensile). Come risultati otteniamo anche misure della bontà di adattamento del modello scelto (deviazione standard e coefficiente di variazione). Il trend à calcolato con il metodo della media mobile, sono quindi disponibili diversi filtri. Suggerimento Selezionate anzitutto un filtro che vi sembra adatto. Ripetete il calcolo con diversi filtri e osservate l’effetto sulla bontà di adattamento. Come reagiscono la deviazione standard e il coefficiente di variazione ad un filtro non adeguato alle fluttuazioni stagionali? Qual’à la differenza tra un filtro lungo e uno corto? Che indice della bontà di adattamento ritenete pià adeguato? Qual’à il significato della descrizione che il modello riesce a fare dei dati (adattamento) per una buona previsione? Dati Abbiamo a disposizione i seguenti dati.

  • DAX

Variazioni del DAX in % in rapporto all’anno precedente (al 31 dicembre)
Periodo considerato: dicembre 1960 – dicembre 1997
Periodicità: dati annuali
Nota: fino al 1987 si considera l’indice del Deutsche Börsenzeitung

  • Entrate dello Stato

Entrate dello Stato in Germania in % rispetto all’anno precedente
Periodo considerato: 1951 – 1991
Periodicità: dati annuali

  • Bilancia dei pagamenti

Bilancia dei pagamenti in Germania
Periodo considerato: 1977 – 1995
Periodicità: dati annuali

  • Debito pubblico

Debito pubblico in Germania (variazioni annuali in %)
Periodo considerato: 4/1967 – 3/1997
Periodicità: dati trimestrali

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La seguente serie temporale descrive lo svilupppo della bilancia dei pagamenti (in Mio.) in Germania negli anni 1977 - 1995. Il trend di questa serie temporale viene stimato con il metodo delle medie mobili utilizzando la seguente formula Dato che vogliamo assegnare lo stesso peso ai periodi passati e a quelli futuri, scegliamo . Per filtrare i dati annuali utilizziamo una media mobile semplice con pesi tutti uguali per ogni . I pesi per l’area di supporto devono avere somma pari a 1. Abbiamo quindi: Nella seguente tabella abbiamo calcolato la media mobile T(t) per , e .

anno bilancia dei pagamenti
1977 1 9478
1978 2 18003 5483,3
1979 3 -11031 -7169,3 -4754,2
1980 4 -28480 -17084 -4676,6 -476
1981 5 -11741 -10118,3 -6162,6 2161,4
1982 6 9866 2899,3 1631,6 6493,4
1983 7 10573 16126,3 16993 20325,4
1984 8 27940 28946,7 36499,8 36122,1
1985 9 48327 54020 50946 50418,9
1986 10 85793 72072,3 66498,6 63874,7
1987 11 82097 85408,7 81722 64551,3
1988 12 88336 91496,7 75118,4 56000,4
1989 13 104057 69234 51576,6 44779,3
1990 14 15309 29150 29113 29186
1991 15 -31916 -15609,3 6774,4 12573,9
1992 16 -30221 -28498 -20875,2 -4876,7
1993 17 -23357 -29256,3 -30700,6
1994 18 -34191 -30455,3
1995 19 -33818


Se , non possiamo stimare il trend per il periodo , perchà il valore della serie in à incognito. Per il trend stimato à . Nel seguente diagramma confrontiamo le tre stime e la serie originale.

En folnode5 b k 1 5.gif

Possiamo osservare due caratteristiche importanti del procedimento:

  • Se l’area di supporto, sulla quale à stato stimato il trend (ovvero a) à ampia, il numero dei valori del trend stimati à piccolo.
  • Il trend diventa pià piatto per un’area di supporto pià ampia.

ordine delle medie mobili
area di supporto: numero () di osservazioni che consideriamo nel calcolo della media.

  • ordine dispari :

    Esempio:

    ordine
  • ordine pari :

    Esempio:

    ordine