Tendance d’une série temporelle

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L’analyse d’une commence avec l’identification de son comportement à long terme à partir des valeurs observées. Il est possible de procéder de diverses manières, ce qui peut donner des tendances différentes pour une seule et même série. Le choix de la méthode requière une mise en balance de ses avantages et désavantages. Dans cette section, nous présetons la méthode de la moyenne mobile et celle des moindres carrés.

Méthode de la moyenne mobile

Dans ce cas, la tendance estimée est une moyenne pondérée des données : $T(t)=\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}x_{t+i}\,,$ avec $\sum \limits _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1$ L’ensemble des poids $\lambda _{i}$ est appelé . La sélection du filtre dépend des variations saisonnières et du degré de lissage souhaité. On considère le plus souvent des filtres symétriques. Ils font intervenir tout à la fois le futur et le passé de la série en chaque instant. Lorsque les poids $\lambda _{i}$ d’un filtre sont égaux pour tout $i$, le filtre est qualifié de moyenne mobile simple; dans le cas contraire, on parle de moyenne mobile pondérée. On appelle de la moyenne mobile, la quantité $b+a$. La série des tendances estimées est au plus aussi longue que la série observée (égalité si $a=b=0$). Plus le support dela moyenne mobile est important, plus la série des tendances estimées est courte et plus elle est lisse. Filtres fréquemment utilisés pour des séries à variations saisonnières : Les filtres symétriques ($a=b$) sont souvent définis en listant les $2a+1$ poids correpondants entre deux crochets. Pour lisser des séries temporelles à variation saisonnière, on utilise souvent les filtre suivant. Ils permettent de s’affranchir de la composaqnte saisonnière lors de l’estimation de la tendance de la série :

• données biannuelles $\lbrack 1/4\ 1/2\ 1/4]\quad (a=1)$ $\lbrack 1/8\ 1/4\ 1/4\ 1/4\ 1/8]\quad (a=2)$
• données trimestrielles $\lbrack 1/8\ 1/4\ 1/4\ 1/4\ 1/8]\quad (a=2)$ $\lbrack 1/16\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/16]\quad (a=4)$
• données mensuelles $\lbrack 1/24\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/24]\quad (a=6)$

Exemple (données trimestrielles): Nombre de voitures immatriculées à Berlin entre le premier trimestre 1977 et le quatrième trimestre 1989Filtre : $[1/8\ 1/4\ 1/4\ 1/4\ 1/8]$En rouge : série initialeEn noir : série lissée (tendance)

Méthode des moindres carrés

La est une fa çon alternative de déterminer la tendance d’une série temporelle. La méthode a été présentée dans le chapitre sur la régression linéaire. On sélectionne un ensemble de fonctions paramétrées du temps $t$ et estimons les paramètres permettant d’ajuster au mieux la série observée. Ces paramètres sont déterminés de façon à minimiser la somme des écarts quadratiques entre tendance et série initiale : $\sum \limits _{t=}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}\rightarrow \ {\text{min.}}$ Dans ce qui suit, nous obtenons l’expression de ces paramètre pour une tendance linéaire et pour une tendance exponentielle :

Tendance linéaire

On postule l’existence d’une dépendance linéaire entre la variable $X$ et le temps $t$ ${\widehat {x}}_{t}=a+b\cdot t$ La somme des carrés des résidus se met en fonction de $a$ et $b$ sous la forme : $S(a,b)=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\widehat {x}}_{t})^{2}=\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-a-b\cdot t)^{2}\rightarrow \ {\text{min.}}$ La minimisation de $S(a,b)$ fournit les estimations suivantes des paramètres : $a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ $b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}t-\sum \limits _{t=1}^{T}x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ Exemple: Indice des prix à Berlin, du premier trimestre 1977 au quatrième trimestre 1989 ${\widehat {x}}_{t}=99,12+1,701\cdot t\qquad R^{2}=0,9923$ $t=0$ correspond au quatrième trimestre de 1976.

Tendance exponentielle

Postulons l’existence d’une dépendance exponentielle entre le variable $X$ et le temps $t$ : ${\widehat {x}}_{t}=ab^{t}\,,$ ce qui donne, en prenant les logarithmes : $\log {\widehat {x}}_{t}=\log at\log b$ La procédure de minimisation fournit les paramètres suivants : $\log a={\frac {\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\sum \limits _{t=1}^{T}t\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ $\log b={\frac {T\sum \limits _{t=1}^{T}t\log x_{t}-\sum \limits _{t=1}^{T}\log x_{t}\sum \limits _{t=1}^{T}t}{T\sum \limits _{t=1}^{T}t^{2}-\left(\sum \limits _{t=1}^{T}t\right)^{2}}}$ Exemple: évolution du nombre de téléphone aux Etats-Unis (en milliers) entre 1900 et 1970 $\log {\widehat {x}}_{t}=3,553645+0,021448\cdot t$ $R^{2}=0,9923$ $t=0$ correspond à 1899. ${\widehat {x}}_{t}=3578,04\cdot 1,051^{t}$

Présentation Chosissez une série temporelle à lisser avec XploRe. Vous pouvez éditer directement le code XploRe. Présentation Vous pouvez sélectionner une série temporelle, qui sera décomposée en tendance et résidus . La tendance est calculée par la méthode de la moyenne mobile. Divers filtres sont disponibles. Suggestion Sélectionnez successivement différents filtres et observez l’effet résultant sur la tendance estimée. Considérez également les résidus avec attention. Y a-t-il des valeurs aberrantes ? Les fluctuations des résidus évoluent-elles au cours du temps ? Données On dispose des données suivantes.

• DAXVariations annuelles du DAX en % observées au 31. Decembre.Intervalle de temps considéré : Decembre 1960 – Decembre 1997 Periodicité : Données annuelles

  Note: jusqu’à 1987 l’indice est celui du Deutsche Börsenzeitung

• Revenu des ménages

  variation en % du revenu des ménages en Allemagne

  intervalle de temps : 1951 – 1991 Péridodicité : Données annuelles

• Balance des paiements

  Balance des paiements de l’Allemagne intervalle de temps considéré : 1977 – 1995 Periodicité : données annuelles

• Dette nationale

  Dette des ménages en Allemagne (variations trimestrielles en %) Intervalle de temps considéré : 4/1967 – 3/1997 Periodicité : données trimestrielles

La suivante décrit l’évolution de la balnce des paiements (en Millions) de l’Allemagne Fédérale entre 1977 et 1995. La tendance de ces séries temporelles est estimée par laméthode de la moyenne mobile. A cet effet, on utilise la formule : $T(t)=\sum _{i--a}^{b}\lambda _{i}x_{t+i}\,,\ {\text{avec}}\sum _{i=-a}^{b}\lambda _{i}=1\,.$ Comme on souhaite que passé et futur soient pondérés également lors de l’estimation de la tendance en $t$, on prend $a=b$. Pour le lissage de données annuelles, une moyenne mobile simple est appliquée - tous les poids sont égaux. La somme des poids sur le support de la moyenne mobile doit être égale à 1, d’où : $\lambda _{i}={\frac {1}{2a+1}}\quad \forall i\,.$ Dans la table suivante, la moyenne mobile T(t) est évaluée pour $a=1$ , $a=2$ et $a=3$.

année	$t$	balance des paiements	$T(t)$	$T(t)$	$T(t)$
			$a=1$	$a=2$	$a=3$
1977	1	9478
1978	2	18003	5483,3
1979	3	-11031	-7169,3	-4754,2
1980	4	-28480	-17084	-4676,6	-476
1981	5	-11741	-10118,3	-6162,6	2161,4
1982	6	9866	2899,3	1631,6	6493,4
1983	7	10573	16126,3	16993	20325,4
1984	8	27940	28946,7	36499,8	36122,1
1985	9	48327	54020	50946	50418,9
1986	10	85793	72072,3	66498,6	63874,7
1987	11	82097	85408,7	81722	64551,3
1988	12	88336	91496,7	75118,4	56000,4
1989	13	104057	69234	51576,6	44779,3
1990	14	15309	29150	29113	29186
1991	15	-31916	-15609,3	6774,4	12573,9
1992	16	-30221	-28498	-20875,2	-4876,7
1993	17	-23357	-29256,3	-30700,6
1994	18	-34191	-30455,3
1995	19	-33818

Lorsque $a=1$, on ne peut estimer de tendance à l’instant $t=1$, car la valeur de la série temporelle est inconnue en $t=0$. Pour $t=2$, la tendance estimée est égale à $(9478)/3+(18003)/3+(-11031)/3=5483,3$. On reporte dans le diagramme suivant les trois estimations et la série initiale, afin d’être à même de les comparer :

On met ainsi en évidence deux caractéristiques importantes de la procédure :

• Plus le de la moyenne mobile utilisée pour estimer la tendance est important, moins on peut obtenir de valeurs estimées.
• Plus le support de la moyene mobile est important, plus la tendance estimée est lisse.

Ordre de la moyenne mobile nombre ($k$) d’observations utilisées pour calculer la moyenne.

• ordre impair $2k+1$:$X_{t}^{\star }={\frac {1}{2k+1}}\sum _{i=t-k}^{t+k}X_{i}\qquad t=k+1,\dots ,T-k$

  Exemple:

  $k$	$1$	$2$
  ordre	$2k+1=3$	$2k+1=5$
  $x_{1}$	$x_{1}^{\star }$ —	$x_{1}^{\star }$ —
  $x_{2}$	$x_{2}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=1}^{3}x_{i}$	$x_{2}^{\star }$ —
  $x_{3}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=2}^{4}x_{i}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=1}^{5}x_{i}$
  $x_{4}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=3}^{5}x_{i}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=2}^{6}x_{i}$
  $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
  $x_{T-2}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{5}}\cdot \sum _{i=T-4}^{T}x_{i}$
  $x_{T-1}$	$x_{T-1}^{\star }={\frac {1}{3}}\cdot \sum _{i=T-2}^{T}x_{i}$	$x_{4}^{\star }$ —
  $x_{T}$	$x_{T}^{\star }$ —	$x_{T}^{\star }$ —

• ordre pair $2k$:

  $X_{t}^{\star }={\frac {1}{2k}}\left[{\frac {1}{2}}X_{t-k}+{\frac {1}{2}}X_{t+k}+\sum _{i=t-(k-1)}^{t+(k-1)}X_{i}\right]\qquad t=k+1,\dots ,T-k$

  Exemple:

  $k$	$1$	$2$
  ordre	$2k=2$	$2k=4$
  $x_{1}$	$x_{1}^{\star }$ —	$x_{1}^{\star }$ —
  $x_{2}$	$x_{2}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}x_{3}+x_{2}\right]$	$x_{2}^{\star }$ —
  $x_{3}$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{2}+{\frac {1}{2}}x_{4}+x_{3}\right]$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{1}+{\frac {1}{2}}x_{5}+\sum _{i=2}^{4}x_{i}\right]$
  $x_{4}$	$x_{4}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{3}+{\frac {1}{2}}x_{5}+x_{4}\right]$	$x_{3}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{2}+{\frac {1}{2}}x_{6}+\sum _{i=3}^{5}x_{i}\right]$
  $\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
  $x_{T-2}$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-3}+{\frac {1}{2}}x_{T-1}+x_{T-2}\right]$	$x_{T-2}^{\star }={\frac {1}{4}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-4}+{\frac {1}{2}}x_{T}+\sum _{i=T-3}^{T-1}x_{i}\right]$
  $x_{T-1}$	$x_{T-1}^{\star }={\frac {1}{2}}\left[{\frac {1}{2}}x_{T-2}+{\frac {1}{2}}x_{T}+x_{T-1}\right]$	$x_{T-1}^{\star }$ —
  $x_{T}$	$x_{T}^{\star }$ —	$x_{T}^{\star }$ —