Pendiente de una serie temporal

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El análisis de una serie temporal comienza con la extracción del comportamiento a largo plazo tendencia de los valores observados. Existen gran variedad de modelos, que llevan a distintas lineas de tendencia para la misma serie temporal. La elección de un método requiere la comparación de las ventajas y desventajas. En esta sección vamos a presentar los métodos de medias móviles y el de mínimos cuadrados.

Método de medias móviles

En este método la pendiente estimada en todo momento es una media ponderada de los datos originales. : T(t) = \sum\limits_{i = -a}^b \lambda_i x_{t + i}\, , con \sum\limits_{i = -a}^b \lambda_i = 1 el grupo de pesos \lambda_i se denomina filtro. La selección del filtro depende de variaciones estacionales y del suavizado que se desea. En su mayor parte, se toman filtros simétricos, que incluyen tanto periodos pasados como futuros. Si los pesos \lambda_i de un filtro son iguales para todo i, el filtro de denomina media móvil simple, si no, se llamará media móvil ponderada. : La media ponderada será calculada en un área de los datos originales. La pendiente estimada sólo puede ser tan larga como la serie original de datos (igual, si a = b). Cuanto mayor sea el área de soporte elegido, menor será el numero de valores de tendencia calculados y mayor será el suavizado en la serie de tendencia resultante. Filtros más frecuentes para series temporales con variación estacional: Se suelen especificar filtros simétricos (a = b) tal que 2 a + 1 pesos están en los corchetes. Para el alisado de series temporales estacionales se aplican los siguientes filtros. La razón es que filtran las variaciones periódicas de los datos originales para el cálculo de la tendencia.

  • datos semestrales [1/4 \ 1/2 \ 1/4] \quad (a=1) [1/8 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/8] \quad (a=2)
  • datos trimestrales [1/8 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/8] \quad (a=2) [1/16\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/8\ 1/16] \quad   (a = 4)
  • datos mensuales [1/24\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/12\ 1/24] \quad   (a = 6)

Ejemplo (datos trimestrales): Número de coches nuevos matriculados en Berlin 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989
Filtro: [1/8 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/4 \ 1/8]
rojo: serie original
negro: serie alisada (tendencia)

Es folimg377.gif

Método de mínimos cuadrados

El método de mínimos cuadrados es la segunda posibilidad para calcular la tendencia en una serie temporal. Este método se presentó en el capítulo de análisis de regresión. Se selecciona un conjunto de funciones, que describen la tendencia como función del tiempo t y estimamos sus parámetros. Estos valores de los parámetros minimizan la suma de las variaciones al cuadrado de la tendencia respecto a los datos originales. \sum\limits_{t=}^T (x_t - \widehat x_t)^2 \rightarrow \ \text{min.} Vamos a derivar las formas para una función de tendencia lineal simple y para una tendencia exponencial.

Función de tendencia lineal

Supongamos una dependencia lineal entre la variable X y el tiempo t \widehat x_t =
a+b \cdot t La suma de residuos al cuadrado como dependiente de los parámetros a y b es S(a,b) = \sum\limits_{t=1}^T (x_t - \widehat x_t)^2 = \sum\limits_{t=1}^T (x_t - a - b
\cdot t)^2 \rightarrow \ \text{min.} El resultado de la minimización son los estimadores parámetricos. a = \frac{\sum\limits_{t=1}^T x_t \sum\limits_{t=1}^T t^2
- \sum\limits_{t=1}^T t \sum\limits_{t=1}^T x_t t}{T \sum\limits_{t=1}^T t^2 - \left(
\sum\limits_{t=1}^T t \right)^2} b = \frac{T \sum\limits_{t=1}^T x_t t -
\sum\limits_{t=1}^T x_t \sum\limits_{t=1}^T t}{T \sum\limits_{t=1}^T t^2 - \left(
\sum\limits_{t=1}^T t \right) ^2} Ejemplo: Indice de precios de los servicios en Berlin, 1. trimestre 1977 - 4. trimestre 1989 \widehat x_t = 99,12 + 1,701 \cdot t \qquad R^2 = 0,9923 t=0 corresponde al 4. trimestre de 1976.

Es folimg386.gif

Tendencia exponencial

Supongamos una dependencia exponencial de la variable X respecto al tiemporo t de la forma \widehat x_t = a b^t \, , respectivamente, en forma logarítmica \log
\widehat x_t = \log a t \log b Como resultado de la minimización se obtienen los estimadores de los parámetros. \log a = \frac{\sum\limits_{t=1}^T \log x_t
\sum\limits_{t=1}^T t^2 - \sum\limits_{t=1}^T t \sum\limits_{t=1}^T t \log x_t}{T
\sum\limits_{t=1}^T t^2 - \left( \sum\limits_{t=1}^T t \right)^2} \log b = \frac{T
\sum\limits_{t=1}^T t \log x_t - \sum\limits_{t=1}^T \log x_t \sum\limits_{t=1}^T t}{T
\sum\limits_{t=1}^T t^2 - \left( \sum\limits_{t=1}^T t \right) ^2} Ejemplo: número de teléfonos en USA (meadidos en 1000) 1900 - 1970 \log \widehat x_t = 3,553645 + 0,021448 \cdot t R^2 = 0,9923 t = 0 corresponde a 1899. \widehat x_t = 3578,04 \cdot 1,051^t

Es folimg394.gif

Explicación: Selecciona una serie temporal que será alisada mediante el programa XploRe. Puedes editar el código de XploRe directamente. Explicación Ahora puedes seleccionar una serie temporal, ques será separada en tendencia tendencia y residuos. La tendencia se calcula por el método de medias móviles. Ademas, están disponibles distintos tipos de filtros. Sugerencia Selecciona sucesivamente distintos tipos de filtros y mira los efectos en la tendencia. Presta también atención a los residuos. ?’Existen valores extremos? ?’Cambia la fluctuación de los residuos a lo largo del tiempo? Datos Están disponibles los siguientes datos

  • DAX

Cambio anual del DAX en % observado el 31. Diciembre.
periodo: Diciembre 1960 – Diciembre 1997
Periodicidad: datos anuales
Nota: Antes de 1987 se describía el indice Deutsche Börsenzeitung

  • Ingreso público

cambios en % de los ingresos de todas las economía pública en Alemania
periodo: 1951 – 1991
Periodicidad: datos anuales

  • Balanza de pagos

Balanza de pagos de Alemania
periodo: 1977 – 1995
Periodicidad: datos anuales

  • Deuda nacional

Endeudamiento del estado en Alemania (cambio anual en %)
periodo: 4/1967 – 3/1997
Periodicidad: datos trimestrales

Es folnode5 b k 1 6.gif

La siguiente serie temporal describe el desarrollo de la balanza de pagos (en Mil.) de Alemania entre los años 1977 - 1995. Se estima mediante medias móviles la tendencia de esta serie temporal. Para ello, se usa la fórmula T(t) = \sum_{i - -a}^b \lambda_i x_{t+i} \, , 
\text{with} \ \sum_{i=-a}^b \lambda_i = 1\,. Dado que los valores futuros y pasados tienen el mismo peso para la estimación de la tendencia en t, elegimos a = b. Para el alisado de datos anuales se aplica una simple media móvil, donde todos los pesos son idénticos. Los pesos deben sumar 1 sobre todo el soporte, lo que significa: \lambda_i = \frac{1}{2a + 1} \quad \forall
i\, . En la siguiente tabla se calcula la media móvil T(t) para a=1, a=2 and a=3.

año t balanza de pagos T(t) T(t) T(t)
a=1 a=2 a=3
1977 1 9478
1978 2 18003 5483,3
1979 3 -11031 -7169,3 -4754,2
1980 4 -28480 -17084 -4676,6 -476
1981 5 -11741 -10118,3 -6162,6 2161,4
1982 6 9866 2899,3 1631,6 6493,4
1983 7 10573 16126,3 16993 20325,4
1984 8 27940 28946,7 36499,8 36122,1
1985 9 48327 54020 50946 50418,9
1986 10 85793 72072,3 66498,6 63874,7
1987 11 82097 85408,7 81722 64551,3
1988 12 88336 91496,7 75118,4 56000,4
1989 13 104057 69234 51576,6 44779,3
1990 14 15309 29150 29113 29186
1991 15 -31916 -15609,3 6774,4 12573,9
1992 16 -30221 -28498 -20875,2 -4876,7
1993 17 -23357 -29256,3 -30700,6
1994 18 -34191 -30455,3
1995 19 -33818

Si a = 1, no se puede estimar la tendencia para el periodo t = 1, dado que el valor de la serie temporal es desconocido en t= 0. Para t = 2 la tendencia estimada es (9478)/3 + (18003)/3 + (-11031)/3 = 5483,3. En el siguiente diagrama se comparan las tres estimaciones y la serie original.

Es folnode5 b k 1 5.gif

En este proceso, se detectan dos características importantes:

  • Cuanto mayor es el dominio del suporte, sobre el que se estima la tendencia, más valores de la tendencia dejan de ser estimados.
  • La tendencia estimada se vuelve mas suave cuanto mayor es el dominio del soporte.

orden de la media móvil
dominio: número (k) de observaciones utilizadas para el cálculo de la media.

  • orden impar 2k+1:
    X_t^{\star} = \frac{1}{2k + 1} \sum_{i=t-k}^{t+k} X_i \qquad t= k+1, \dots, T-k

    Ejemplo:

    k 1 2
    orden 2k + 1 = 3 2k+1 = 5
    x_1 x_1^{\star} x_1^{\star}
    x_2 x_2^{\star} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=1}^3 x_i x_2^{\star}
    x_3 x_3^{\star} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=2}^4 x_i x_3^{\star} = \frac{1}{5} \cdot \sum_{i=1}^5 x_i
    x_4 x_4^{\star} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=3}^5 x_i x_4^{\star} = \frac{1}{5} \cdot \sum_{i=2}^6 x_i
    \vdots \vdots \vdots
    x_{T-2} x_{T-2}^{\star} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=T-3}^{T-1} x_i x_{T-2}^{\star} = \frac{1}{5} \cdot \sum_{i=T-4}^T x_i
    x_{T-1} x_{T-1}^{\star} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{i=T-2}^T x_i x_4^{\star}
    x_T x_T^{\star} x_T^{\star}
  • orden par 2k:
    X_t^{\star} = \frac{1}{2k} \left[ \frac{1}{2} X_{t-k} + \frac{1}{2} X_{t+k} + \sum_{i=t-(k-1)}^{t+(k-1)} X_i \right] \qquad t = k+1, \dots, T-k

    Ejemplo:

    k 1 2
    orden 2k = 2 2k = 4
    x_1 x_1^{\star} x_1^{\star}
    x_2 x_2^{\star} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2} x_3 + x_2 \right] x_2^{\star}
    x_3 x_3^{\star} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x_2 + \frac{1}{2}x_4 + x_3 \right] x_3^{\star} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} x_1 + \frac{1}{2} x_5 + \sum_{i=2}^4 x_i \right]
    x_4 x_4^{\star} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x_3 + \frac{1}{2}x_5 + x_4 \right] x_3^{\star} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} x_2 + \frac{1}{2} x_6 + \sum_{i=3}^5 x_i \right]
    \vdots \vdots \vdots
    x_{T-2} x_{T-2}^{\star} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x_{T-3} + \frac{1}{2}x_{T-1} + x_{T-2} \right] x_{T-2}^{\star} = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{2} x_{T-4} + \frac{1}{2} x_T + \sum_{i=T-3}^{T-1} x_i \right]
    x_{T-1} x_{T-1}^{\star} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x_{T-2} + \frac{1}{2}x_T + x_{T-1} \right] x_{T-1}^{\star}
    x_T x_T^{\star} x_T^{\star}